Question

15．已知a，b∈R，求证：$\frac{{6}^{a}}{3{6}^{a+1}+1}$≤$\frac{5}{6}$-b+$\frac{{b}^{2}}{3}$．

Answer 1

分析 通过基本不等式可知6^a+2+$\frac{1}{{6}^{a}}$≥2•$\sqrt{{6}^{a+2}•\frac{1}{{6}^{a}}}$=12，从而$\frac{{6}^{a}}{3{6}^{a+1}+1}$≤$\frac{1}{12}$，通过配方可知$\frac{5}{6}$-b+$\frac{{b}^{2}}{3}$=$\frac{1}{3}$•$（b-\frac{3}{2}）^{2}$+$\frac{1}{12}$≥$\frac{1}{12}$，进而可得结论．

解答 证明：∵6^a+2+$\frac{1}{{6}^{a}}$≥2•$\sqrt{{6}^{a+2}•\frac{1}{{6}^{a}}}$=12，
∴$\frac{{6}^{a}}{3{6}^{a+1}+1}$=$\frac{1}{{6}^{a+2}+\frac{1}{{6}^{a}}}$≤$\frac{1}{12}$，
又∵$\frac{5}{6}$-b+$\frac{{b}^{2}}{3}$=$\frac{1}{3}$•$（b-\frac{3}{2}）^{2}$+$\frac{1}{12}$≥$\frac{1}{12}$，
∴$\frac{{6}^{a}}{3{6}^{a+1}+1}$≤$\frac{5}{6}$-b+$\frac{{b}^{2}}{3}$．

点评 本题考查不等式的证明，涉及基本不等式、配方法等基础知识，注意解题方法的积累，属于中档题．