题目内容
16.如图,四面体ABCD中,各棱相等,M是CD的中点,则直线BM与平面ABC所成角的正弦值为( )A. | $\frac{2}{3}$ | B. | $\frac{1}{2}$ | C. | $\frac{{\sqrt{6}}}{3}$ | D. | $\frac{{\sqrt{2}}}{3}$ |
分析 过A作AO⊥平面BCD,交BM于O,以O为原点,过O在平面BCD内平行于DC的直线为x轴,OM为y轴,OA为z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出直线BM与平面ABC所成角的正弦值.
解答 解:过A作AO⊥平面BCD,交BM于O,设AB=2,
∵四面体ABCD中,各棱相等,M是CD的中点,
∴OA、OD、OM两两垂直,$OB=\frac{2}{3}BM=\frac{2}{3}\sqrt{4-1}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$,
OM=$\frac{1}{3}BM=\frac{1}{3}\sqrt{4-1}=\frac{\sqrt{3}}{3}$,AO=$\sqrt{4-\frac{4}{3}}$=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$,
以O为原点,过O在平面BCD内平行于DC的直线为x轴,OM为y轴,OA为z轴,建立空间直角坐标系,
则B(0,-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$,0),M(0,$\frac{\sqrt{3}}{3}$,0),A(0,0,$\frac{2\sqrt{6}}{3}$),C(1,$\frac{\sqrt{3}}{3}$,0),
$\overrightarrow{BM}$=(0,$\sqrt{3}$,0),$\overrightarrow{AB}$=(0,-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$,-$\frac{2\sqrt{6}}{3}$),$\overrightarrow{AC}$=(1,$\frac{\sqrt{3}}{3}$,-$\frac{2\sqrt{6}}{3}$),
设平面ABC的法向量$\overrightarrow{n}$=(x,y,z),
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}=-\frac{2\sqrt{3}}{3}y-\frac{2\sqrt{6}}{3}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=x+\frac{\sqrt{3}}{3}y-\frac{2\sqrt{6}}{3}z=0}\end{array}\right.$,
取z=1,得$\overrightarrow{n}$=($\sqrt{6}$,-$\sqrt{2}$,1),
设直线BM与平面ABC所成角为θ,
则sinθ=|cos<$\overrightarrow{BM},\overrightarrow{n}$>|=|$\frac{\overrightarrow{BM}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{BM}|•|\overrightarrow{n}|}$|=|$\frac{-\sqrt{6}}{\sqrt{3}×\sqrt{9}}$|=$\frac{\sqrt{2}}{3}$.
∴直线BM与平面ABC所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{2}}{3}$.
故选:D.
点评 本题考查直线与平面所成角的正弦值的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意向量法的合理运用.
A. | {x|1<x≤2} | B. | {x|-2≤x<1} | C. | {x|1≤x≤2} | D. | {x|x≥-2} |
A. | 2S2-1 | B. | 2S2 | C. | S2 | D. | 4S2 |