Question

11．求函数y=4^x-2^x+1+3，x∈（-∞，1]的值域．

Answer 1

分析 配方可得到y=（2^x-1）²+2，可设2^x=t，t∈（0，2]，从而有y=（t-1）²+2，这样根据t的范围即可得出y的最大、最小值，从而得出原函数的值域．

解答 解：y=2^2x-2•2^x+3=（2^x-1）²+2；
x∈（-∞，1]；
∴2^x∈（0，2]，令2^x=t，t∈（0，2]，则y=（t-1）²+2；
∴t=1时，y取最小值2，t=2时，y取最大值3；
∴2≤y≤3；
∴原函数的值域为[2，3]．

点评 考查函数值域的概念及求法，配方法处理二次式子，换元求函数值域的方法，注意确定换元后引入新变量的范围，以及二次函数值域的求法．