题目内容
【题目】已知F1 , F2分别是椭圆C: =1(a>b>0)的两个焦点,P(1,
)是椭圆上一点,且
|PF1|,|F1F2|,
|PF2|成等差数列.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)已知动直线l过点F2 , 且与椭圆C交于A、B两点,试问x轴上是否存在定点Q,使得 =﹣
恒成立?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】
(1)解:∵ |PF1|,|F1F2|,
|PF2|成等差数列,
∴ |PF1|+
|PF2|=2|F1F2|,即2
a=4c,∴a=
c.
∴ ,解得
.
∴椭圆方程为
(2)解:假设在x轴上存在点Q(m,0),使得 =﹣
恒成立.
①当直线l的斜率为0时,A(﹣ ,0),B(
,0).
∴ =(﹣
﹣m,0),
=(
﹣m,0).
∴ =m2﹣2=﹣
,解得
或m=﹣
.
②若直线l斜率不为0,设直线AB的方程为x=ty+1.
联立方程组 ,消元得:(t2+2)y2+2ty﹣1=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=﹣ ,y1y2=﹣
.
∴x1+x2=t(y1+y2)+2= ,
x1x2=(ty1+1)(ty2+1)=t2y1y2+t(y1+y2)+1= .
∵ =(x1﹣m,y1),
=(x2﹣m,y2).
∴ =(x1﹣m)(x2﹣m)+y1y2=x1x2﹣m(x1+x2)+m2+y1y2
= ﹣
+m2﹣
=
=﹣
.
∴ ,解得m=
.
综上,Q点坐标为( ,0)
【解析】(1)根据椭圆的性质及等差数列性质得出a= c,把P点坐标代入椭圆方程列方程组解出a,b得出椭圆方程;(2)设Q(m,0),当直线斜率为0时,求出A,B坐标,列方程解出m,当直线斜率不为0时,设AB方程为x=ty+1,联立方程组得出A,B坐标的关系,根据
=﹣
列方程解出m.
