题目内容
【题目】已知二次函数满足①对于任意
,都有
;②
;③
的图像与
轴的两个交点之间的距离为4.
(1)求的解析式;
(2)记
①若为单调函数,求
的取值范围;
②记的最小值为
,讨论函数
零点的个数.
【答案】(1)(2)①
或
②详见解析
【解析】
(1)根据条件可知二次函数对称轴,
的图像与
轴的两个交点之间的距离为4可求出交点,利用交点式求函数解析式(2)①写出二次函数
,根据对称轴与区间关系可求出
的取值范围②分类讨论求出函数的最小值,换元后作出函数
图象,再利用数形结合研究函数的零点,注意分类讨论思想在解题中的应用.
(1)因为二次函数中,
所以对称轴,
又的图像与
轴的两个交点之间的距离为4,
所以与轴交点为
设,
又,
所以
即.
(2)① ,
对称轴为,
因为为单调函数,
所以或
解得或
.
故的取值范围是
或
.
②,
对称轴为,
当,即
时,
,
当,即
时,
,
当,即
时,
综上
函数零点即为方程
的根,
令,即
的根,
作出的简图如图所示:
(i)当时,
,
或
,
解得或
,有3个零点.
(ii)当时,
有唯一解
,解得
,有2个零点.
(iii)当时,
有两个不同的解
,
解得或
,有4个零点.
(iv)当时,
,
,解得
,有2个零点.
(v)当时,
无解,无零点.
综上:当时,无零点;
当时,4个零点;
当时,有3个零点;
当或
时,有2个零点.
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