题目内容

已知A(1,0),B(4,0),动点T(x,y)满足
|TA|
|TB|
=
1
2
,设动点T的轨迹是曲线C,直线l:y=kx+1与曲线C交于P,Q两点.
(1)求曲线C的方程;
(2)若
OP
OQ
=-2
,求实数k的值;
(3)过点(0,1)作直线l1与l垂直,且直线l1与曲线C交于M,N两点,求四边形PMQN面积的最大值.
(1)设D(x,y)为曲线C上任一点,
∵动点T(x,y)满足
|TA|
|TB|
=
1
2

|CA|
|CB|
=
1
2
=
(x-1)2+y2
(x-4)2+y2

化简整理得x2+y2=4.
∴曲线C的方程为x2+y2=4.(3分)
(2)因为
OP
OQ
=2×2×cos∠POQ=-2

所以cos∠POQ=-
1
2
,∠POQ=120°,
所以圆心到直线l:kx-y+1=0的距离d=
1
k2+1
=1

所以k=0.(6分)
(3)当k=0时,|MN|=2
3
,|PQ|=4
SPMQN=
1
2
×2
3
×4=4
3

当k≠0时,圆心到直线l:kx-y+1=0的距离d=
1
k2+1

所以|MN|=2
4-
1
k2+1
l1:y=-
1
k
x+1

同理得|PQ|=2
4-
1
(-
1
k
)
2
+1
=2
4-
k2
k2+1
=2
3+
1
k2+1

∴SPMQN=
1
2
|MN||PQ|
=2
4-
1
k2+1
3+
1
k2+1

S=2
-(
1
k2+1
-
1
2
)2+
49
4
≤2×
7
2
=7,
当且仅当k=±1时取等号,
∴当k=±1时,Smax=7,
综上所述,当k=±1时,四边形PMQN面积有最大值7.
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