题目内容
已知A(1,0),B(4,0),动点T(x,y)满足
=
,设动点T的轨迹是曲线C,直线l:y=kx+1与曲线C交于P,Q两点.
(1)求曲线C的方程;
(2)若
•
=-2,求实数k的值;
(3)过点(0,1)作直线l1与l垂直,且直线l1与曲线C交于M,N两点,求四边形PMQN面积的最大值.
|TA| |
|TB| |
1 |
2 |
(1)求曲线C的方程;
(2)若
OP |
OQ |
(3)过点(0,1)作直线l1与l垂直,且直线l1与曲线C交于M,N两点,求四边形PMQN面积的最大值.
(1)设D(x,y)为曲线C上任一点,
∵动点T(x,y)满足
=
,
∴
=
=
,
化简整理得x2+y2=4.
∴曲线C的方程为x2+y2=4.(3分)
(2)因为
•
=2×2×cos∠POQ=-2,
所以cos∠POQ=-
,∠POQ=120°,
所以圆心到直线l:kx-y+1=0的距离d=
=1,
所以k=0.(6分)
(3)当k=0时,|MN|=2
,|PQ|=4,SPMQN=
×2
×4=4
当k≠0时,圆心到直线l:kx-y+1=0的距离d=
,
所以|MN|=2
l1:y=-
x+1,
同理得|PQ|=2
=2
=2
,
∴SPMQN=
|MN||PQ|=2
•
,
S=2
≤2×
=7,
当且仅当k=±1时取等号,
∴当k=±1时,Smax=7,
综上所述,当k=±1时,四边形PMQN面积有最大值7.
∵动点T(x,y)满足
|TA| |
|TB| |
1 |
2 |
∴
|CA| |
|CB| |
1 |
2 |
| ||
|
化简整理得x2+y2=4.
∴曲线C的方程为x2+y2=4.(3分)
(2)因为
OP |
OQ |
所以cos∠POQ=-
1 |
2 |
所以圆心到直线l:kx-y+1=0的距离d=
1 | ||
|
所以k=0.(6分)
(3)当k=0时,|MN|=2
3 |
1 |
2 |
3 |
3 |
当k≠0时,圆心到直线l:kx-y+1=0的距离d=
1 | ||
|
所以|MN|=2
4-
|
1 |
k |
同理得|PQ|=2
4-
|
4-
|
3+
|
∴SPMQN=
1 |
2 |
4-
|
3+
|
S=2
-(
|
7 |
2 |
当且仅当k=±1时取等号,
∴当k=±1时,Smax=7,
综上所述,当k=±1时,四边形PMQN面积有最大值7.
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