题目内容
函数
.
（1）若
，函数
在区间
上是单调递增函数，求实数
的取值范围；
（2）设
，若对任意
恒成立，求
的取值范围．
（1）
；（2）
.
【解析】
试题分析：（1）单调递增函数定义得任设
，恒有
，从而恒有
，即恒有
，求得
的范围；（2）对任意
有
恒成立等价于
在
上的最大值与最小值之差
，利用二次函数轴动区间定对
分类讨论.
试题解析：（1）
时，
任设，
..2分
，
因为函数
在
上是单调递增函数，故恒有， ...3分
从而恒有，即恒有， ..4分
当时，
，
，
..6分
（2）当
时
对任意有恒成立等价于在上的最大值与最小值之差 ..7分
当
，即
时，在
上单调递增，
所以
，
，所以
，与题设矛盾； 9分
当
，即
时，在
上单调递减，在
上单调递增，所以
，，
所以
恒成立，所以； ..11分
当
，即
时，在上单调递减，在上单调递增，所以，
，
所以
恒成立，所以
； .13分
当
，即
时，在上单调递减，
所以
，
，所以
，
与题设矛盾． .15分
综上所述，实数
的取值范围是
． 16分
考点：1.函数单调性定义；2. 二次函数轴动区间定找最值问题；3.恒成立问题.
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