题目内容

已知：
a
=(cos
3
2
x，sin
3
2
x)，
b
=(cos
x
2
，sin
x
2
 )，x∈[
π
2
，
3π
2
]
（1）求：|
a
+
b
|的取值范围；
（2）求：函数f(x)=2sinx+|
a
+
b
 |的最小值．
分析：（1）把向量代入|
a
+
b
|，求模，利用平方展开、浪迹花都余弦函数化简，根据x的范围确定它的取值范围；
（2）求出函数f(x)=2sinx+|
a
+
b
 |的表达式，化为一个角的一个三角函数的形式，根据x的范围求出函数的最小值．
解答：解：（1）|
a
+
b
|=
(cos
3
2
x+cos
x
2
)2+(sin
3
2
x-sin
x
2
)2

=
2+2(cos
3
2
xcos
1
2
x-sin
3
2
xsin
1
2
x)   
=
2+2cos2x
（3分）
∵π≤2x≤3π，-1≤cos2x≤1，∴0≤|a+b|≤2（7分）
（2）f(x)=2sinx+|
a
+
b
|=2sinx+
2+2cos2x
=2sinx-2cosx=2
2
sin（x-
π
4
）（10分）
由
π
4
≤x-
π
4
≤
5π
4
，得当x=
3π
2
时，f（x）取得最小值-2   （14分）
点评：本题是基础题，考查三角函数的化简求值，向量的模的求法，考查计算能力，常考题型．
练习册系列答案
相关题目
已知
cosθ
a
=
cos3θ
b
=
cos5θ
c
，求证：
a+c
a+b
=+
b
a
．
已知向量
.
a
=（cos
3θ
2
，sin
3θ
2
），
.
b
=（cos
θ
2
，-sin
θ
2
），θ∈[0，
π
3
]，
（I）求
.
a
.
.
b
|
.
a
+
.
b
|
的最大值和最小值；
（II）若|k
.
a
+
.
b
|=
3
|
.
a
-k
.
b
|（k∈R），求k的取值范围．
已知向量
a
=(cos
3θ
2
，sin
3θ
2
)，
b
=(cos
θ
2
，-sin
θ
2
)，θ∈[0，
π
3
]，
（1）求
a
•
b
|
a
+
b
|
的最大值和最小值；
（2）若|k
a
+
b
|=
3
|
a
-k
b
|(k∈R)，求k的取值范围．
（2013•合肥二模）已知f（x）是偶函数，当．x∈[0，
π
2
]时，f（x）=xsinx，若a=f（cos1），b=f（cos2），c=f（cos3），则 a，b，c 的大小关系为（　　）
已知向量
.
a
=（cos
3θ
2
，sin
3θ
2
），
.
b
=（cos
θ
2
，-sin
θ
2
），θ∈[0，
π
3
]，
（I）求
.
a
.
.
b
|
.
a
+
.
b
|
的最大值和最小值；
（II）若|k
.
a
+
.
b
|=
3
|
.
a
-k
.
b
|（k∈R），求k的取值范围．

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