题目内容

已知向量
a
=(cos
2
,sin
2
),
b
=(cos
θ
2
,-sin
θ
2
),θ∈[0,
π
3
]

(1)求
a
b
|
a
+
b
|
的最大值和最小值;
(2)若|k
a
+
b
|=
3
|
a
-k
b
|(k∈R)
,求k的取值范围.
分析:(1)利用向量的数量积运算,化简
a
b
|
a
+
b
|
,再利用换元法,结合函数的单调性,即可求得
a
b
|
a
+
b
|
的最大值和最小值;
(2)先两边平方,求得向量的数量积,再根据数量积的范围,建立不等式,解之即可求得k的取值范围.
解答:解:(1)∵
a
=(cos
2
,sin
2
),
b
=(cos
θ
2
,-sin
θ
2
)

a
b
=cos
3
2
θcos
θ
2
-sin
2
sin
θ
2
=cos2θ
|
a
|=|
b
|=1

|
a
+
b
|2=
a
2
+
b
2
+2
a
b
=2+2cos2θ=4cos2θ

∴ |
a
+
b
|=2cosθ(θ∈[0,
π
3
]
),
a
b
|
a
+
b
|
=
cos2θ
2cosθ
=
2cos2θ-1
2cosθ
.

设t=2cosθ,则
a
b
|
a
+
b
|
=
2t2-1
2t
=t-
1
2t
,t∈[
1
2
,1]

y=t-
1
2t
,则y′=1+
1
2t2
>0
y=t-
1
2t
[
1
2
,1]
上递增
∵t=
1
2
时,y=-
1
2
;t=1时,y=
1
2

a
b
|
a
+
b
|
的最大值为
1
2
,最小值为-
1
2

(2)由|k
a
+
b
|=
3
|
a
-k
b
|
(k
a
+
b
)
2
⇒3(
a
-k
b
)
2

k2
a
2
+
b
2
+2k
a
b
=3(
a
2
+k2
b
2
-2k
a
b

|
a
|=|
b
|=1

k2 +1+2k
a
b
=3(1 +k2-2k
a
b

a
b
=
1+k2
4k

a
b
= (cos
2
,sin
2
)•(cos
θ
2
,-sin
θ
2
)
=cos2θ,θ∈[0,
π
3
]

∴cos2θ∈[-
1
2
,1]

-
1
2
1+k2
4k
≤1.

1+k2+2k
4k
≥0
1+k2-4k
4k
≤0

2-
3
≤k≤2+
3
或k=-1.
点评:本题重点考查向量的数量积,考查三角函数,考查解不等式,解题的关键是正确运用向量的数量积公式化简.
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