题目内容

已知向量
a
=(cos
3θ
2
，sin
3θ
2
)，
b
=(cos
θ
2
，-sin
θ
2
)，θ∈[0，
π
3
]，
（1）求
a
•
b
|
a
+
b
|
的最大值和最小值；
（2）若|k
a
+
b
|=
3
|
a
-k
b
|(k∈R)，求k的取值范围．
分析：（1）利用向量的数量积运算，化简
a
•
b
|
a
+
b
|
，再利用换元法，结合函数的单调性，即可求得
a
•
b
|
a
+
b
|
的最大值和最小值；
（2）先两边平方，求得向量的数量积，再根据数量积的范围，建立不等式，解之即可求得k的取值范围．
解答：解：（1）∵
a
=(cos
3θ
2
，sin
3θ
2
)，
b
=(cos
θ
2
，-sin
θ
2
)
∴
a
•
b
=cos
3
2
θcos
θ
2
-sin
3θ
2
sin
θ
2
=cos2θ，|
a
|=|
b
|=1
∴|
a
+
b
|2=
a
2+
b
2+2
a
•
b
=2+2cos2θ=4cos2θ，
∴ |
a
+
b
|=2cosθ(θ∈[0，
π
3
]
），
∴
a
•
b
|
a
+
b
|
=
cos2θ
2cosθ
=
2cos2θ-1
2cosθ
.，
设t=2cosθ，则
a
•
b
|
a
+
b
|
=
2t2-1
2t
=t-
1
2t
，t∈[
1
2
，1]，
令y=t-
1
2t
，则y′=1+
1
2t2
＞0
∴y=t-
1
2t
在[
1
2
，1]上递增
∵t=
1
2
时，y=-
1
2
；t=1时，y=
1
2

∴
a
•
b
|
a
+
b
|
的最大值为
1
2
，最小值为-
1
2
；
（2）由|k
a
+
b
|=
3
|
a
-k
b
|有(k
a
+
b
)2⇒3(
a
-k
b
)2
即k2
a
2+
b
2+2k
a
•
b
=3（
a
2+k2
b
2-2k
a
•
b
）
∵|
a
|=|
b
|=1
∴k2 +1+2k
a
•
b
=3（1 +k2-2k
a
•
b
）
∴
a
•
b
=
1+k2
4k

∵
a
•
b
= (cos
3θ
2
，sin
3θ
2
)•(cos
θ
2
，-sin
θ
2
)=cos2θ，θ∈[0，
π
3
]
∴cos2θ∈[-
1
2
，1]
∴-
1
2
≤
1+k2
4k
≤1.
∴
1+k2+2k
4k
≥0
1+k2-4k
4k
≤0

∴2-
3
≤k≤2+
3
或k=-1．
点评：本题重点考查向量的数量积，考查三角函数，考查解不等式，解题的关键是正确运用向量的数量积公式化简．
练习册系列答案
相关题目
已知向量
a
=(-cosα，1+sinα)，
b
=(2sin2
α
2
，sinα)．
（Ⅰ）若|
a
+
b
|=
3
，求sin2α的值；
（Ⅱ）设
c
=(cosα，2)，求(
a
+
c
)•
b
的取值范围．
已知向量
a
=(cosωx-sinωx，sinωx)，
b
=(-cosωx-sinωx，2
3
cosωx)，其中ω＞0，且函数f(x)=
a
•
b
+λ（λ为常数）的最小正周期为π．
（Ⅰ）求函数y=f（x）的图象的对称轴；
（Ⅱ）若函数y=f（x）的图象经过点(
π
4
，0)，求函数y=f（x）在区间[0，
5π
12
]上的取值范围．
已知向量
a
=(cos
θ
2
，sin
θ
2
)，
b
=(2，1)，且
a
⊥
b
．
（1）求tanθ的值；
（2 ）求
cos2θ
2
cos(
π
4
+θ)•sinθ
的值．
已知向量
a
=(cos(ωx-
π
6
)，  sin(ωx-
π
4
))，  
b
=(sin(
2
3
π-ωx)， sin(ωx+
π
4
))（其中ω＞0）．若函数f(x)=2
a
•
b
-1的图象相邻对称轴间距离为
π
2
．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）求f（x）在[-
π
12
，  
π
2
]上的值域．
已知向量
a
=(cosθ，sinθ)，
b=
(cos2θ-1，sin2θ)，
c
=(cos2θ，sin2θ-
3
)．其中θ≠kπ，k∈Z．
（1）求证：
a
⊥
b
；
（2）设f(θ)=
a
•
c
，且θ∈(0，π)，求f(θ)的值域．

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