题目内容
已知向量
=(cos
,sin
),
=(cos
,-sin
),θ∈[0,
],
(1)求
的最大值和最小值;
(2)若|k
+
|=
|
-k
|(k∈R),求k的取值范围.
a |
3θ |
2 |
3θ |
2 |
b |
θ |
2 |
θ |
2 |
π |
3 |
(1)求
| ||||
|
|
(2)若|k
a |
b |
3 |
a |
b |
分析:(1)利用向量的数量积运算,化简
,再利用换元法,结合函数的单调性,即可求得
的最大值和最小值;
(2)先两边平方,求得向量的数量积,再根据数量积的范围,建立不等式,解之即可求得k的取值范围.
| ||||
|
|
| ||||
|
|
(2)先两边平方,求得向量的数量积,再根据数量积的范围,建立不等式,解之即可求得k的取值范围.
解答:解:(1)∵
=(cos
,sin
),
=(cos
,-sin
)
∴
•
=cos
θcos
-sin
sin
=cos2θ,|
|=|
|=1
∴|
+
|2=
2+
2+2
•
=2+2cos2θ=4cos2θ,
),
∴
=
=
.,
设t=2cosθ,则
=
=t-
,t∈[
,1],
令y=t-
,则y′=1+
>0
∴y=t-
在[
,1]上递增
∵t=
时,y=-
;t=1时,y=
∴
的最大值为
,最小值为-
;
(2)由|k
+
|=
|
-k
|有(k
+
)2⇒3(
-k
)2
即k2
2+
2+2k
•
=3(
2+k2
2-2k
•
)
∵|
|=|
|=1
∴k2 +1+2k
•
=3(1 +k2-2k
•
)
∴
•
=
∵
•
= (cos
,sin
)•(cos
,-sin
)=cos2θ,θ∈[0,
]
∴cos2θ∈[-
,1]
∴-
≤
≤1.
∴
∴2-
≤k≤2+
或k=-1.
a |
3θ |
2 |
3θ |
2 |
b |
θ |
2 |
θ |
2 |
∴
a |
b |
3 |
2 |
θ |
2 |
3θ |
2 |
θ |
2 |
a |
b |
∴|
a |
b |
a |
b |
a |
b |
|
∴
| ||||
|
|
cos2θ |
2cosθ |
2cos2θ-1 |
2cosθ |
设t=2cosθ,则
| ||||
|
|
2t2-1 |
2t |
1 |
2t |
1 |
2 |
令y=t-
1 |
2t |
1 |
2t2 |
∴y=t-
1 |
2t |
1 |
2 |
∵t=
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
∴
| ||||
|
|
1 |
2 |
1 |
2 |
(2)由|k
a |
b |
3 |
a |
b |
a |
b |
a |
b |
即k2
a |
b |
a |
b |
a |
b |
a |
b |
∵|
a |
b |
∴k2 +1+2k
a |
b |
a |
b |
∴
a |
b |
1+k2 |
4k |
∵
a |
b |
3θ |
2 |
3θ |
2 |
θ |
2 |
θ |
2 |
π |
3 |
∴cos2θ∈[-
1 |
2 |
∴-
1 |
2 |
1+k2 |
4k |
∴
|
∴2-
3 |
3 |
点评:本题重点考查向量的数量积,考查三角函数,考查解不等式,解题的关键是正确运用向量的数量积公式化简.

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