题目内容
已知向量
=（cos
，sin
），
=（cos
，-sin
），θ∈[0，
]，
（I）求
的最大值和最小值；
（II）若|k
+
|=
|
-k
|（k∈R），求k的取值范围．
. |
| a |
| 3θ |
| 2 |
| 3θ |
| 2 |
. |
| b |
| θ |
| 2 |
| θ |
| 2 |
| π |
| 3 |
（I）求
| ||||
|
|
（II）若|k
. |
| a |
. |
| b |
| 3 |
. |
| a |
. |
| b |
分析：（1）由题意可得，
•
=cos2θ，由向量的数量积的性质可得，|
+
|=2cosθ，代入可得
=
=
，令t=cosθ，利用导数研究函数y=t-
在[
，1]上单调性可求函数的最值
（2）由|k
+
|=
|
-k
|，结合|
|=|
|=1可求
•
=
，结合
•
=cos2θ，及θ∈[0，
]可得，-
≤
•
≤1，则可得-
≤
≤1，解不等式可求k得范围
| a |
| b |
| a |
| b |
| ||||
|
|
| cos2θ |
| 2cosθ |
| 2cos2θ-1 |
| 2cosθ |
| 1 |
| 2t |
| 1 |
| 2 |
（2）由|k
| a |
| b |
| 3 |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| 1+k2 |
| 4k |
| a |
| b |
| π |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| a |
| b |
| 1 |
| 2 |
| 1+k2 |
| 4k |
解答：解：（1）∵
=（cos
，sin
），
=（cos
，-sin
），
∴
•
=cos
cos
-sin
sin
=cos2θ
∵|
+
|2=
2+
2+2
•
=2+2cos2θ=4cos2θ
∴|
+
|=2cosθ，θ∈[0，
]
∴
=
=
令t=cosθ，则t∈[
，1]，y=
=
=t-
，t∈[
，1]
则y′=1+
＞0
∴y=t-
在[
，1]上单调递增
∴ymax=
，ymin=-
（2）由|k
+
|=
|
-k
|可得(k
+
)2=3(
-k
)2
即k2
2+
2+2k
•
=3(
2-2k
•
+k2
2)
又∵|
|=|
|=1
∴k2+1+2k
•
=3(1+k2-2k
•
)
∴
•
=
由
•
=cos2θ，θ∈[0，
]可得，-
≤
•
≤1
∴-
≤
≤1
∴
∴
解可得，
∴k=-1或2-
≤k≤2+
综上可得，k得取值范围为{k|k=-1或2-
≤k≤2+
}
. |
| a |
| 3θ |
| 2 |
| 3θ |
| 2 |
. |
| b |
| θ |
| 2 |
| θ |
| 2 |
∴
| a |
| b |
| 3θ |
| 2 |
| θ |
| 2 |
| 3θ |
| 2 |
| θ |
| 2 |
∵|
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
∴|
| a |
| b |
| π |
| 3 |
∴
| ||||
|
|
| cos2θ |
| 2cosθ |
| 2cos2θ-1 |
| 2cosθ |
令t=cosθ，则t∈[
| 1 |
| 2 |
| ||||
|
|
| 2t2-1 |
| 2t |
| 1 |
| 2t |
| 1 |
| 2 |
则y′=1+
| 1 |
| 2t2 |
∴y=t-
| 1 |
| 2t |
| 1 |
| 2 |
∴ymax=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
（2）由|k
| a |
| b |
| 3 |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
即k2
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| a |
| b |
| b |
又∵|
| a |
| b |
∴k2+1+2k
| a |
| b |
| a |
| b |
∴
| a |
| b |
| 1+k2 |
| 4k |
由
| a |
| b |
| π |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| a |
| b |
∴-
| 1 |
| 2 |
| 1+k2 |
| 4k |
∴
|
∴
|
解可得，
|
∴k=-1或2-
| 3 |
| 3 |
综上可得，k得取值范围为{k|k=-1或2-
| 3 |
| 3 |
点评：本题主要考查了向量的数量积的性质的应用，利用导数判断函数的单调性，进而求解函数的最值，分式不等式的解法，属于函数与向量、不等式的综合应用
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