题目内容

已知向量
.
a
=(cos
2
,sin
2
),
.
b
=(cos
θ
2
,-sin
θ
2
),θ∈[0,
π
3
],
(I)求
.
a
.
.
b
|
.
a
+
.
b
|
的最大值和最小值;
(II)若|k
.
a
+
.
b
|=
3
|
.
a
-k
.
b
|(k∈R),求k的取值范围.
分析:(1)由题意可得,
a
b
=cos2θ,由向量的数量积的性质可得,|
a
b
|
=2cosθ,代入可得
a
b
|
a
+
b
|
=
cos2θ
2cosθ
=
2cos2θ-1
2cosθ
,令t=cosθ,利用导数研究函数y=t-
1
2t
[
1
2
,1]
上单调性可求函数的最值
(2)由|k
a
+
b
|=
3
|
a
-k
b
|
,结合|
a
|=|
b
|=1
可求
a
b
=
1+k2
4k
,结合
a
b
=cos2θ
,及θ∈[0,
π
3
]
可得,-
1
2
a
b
≤1
,则可得-
1
2
1+k2
4k
≤1
,解不等式可求k得范围
解答:解:(1)∵
.
a
=(cos
2
,sin
2
),
.
b
=(cos
θ
2
,-sin
θ
2
),
a
b
=cos
2
cos
θ
2
-sin
2
sin
θ
2
=cos2θ
|
a
+
b
|2
=
a
2
+
b
2
+2
a
b
=2+2cos2θ=4cos2θ
|
a
b
|
=2cosθ,θ∈[0,
π
3
]

a
b
|
a
+
b
|
=
cos2θ
2cosθ
=
2cos2θ-1
2cosθ

令t=cosθ,则t∈[
1
2
,1]
,y=
a
b
|
a
+
b
|
=
2t2-1
2t
=t-
1
2t
,t∈[
1
2
,1]
y=1+
1
2t2
>0

∴y=t-
1
2t
[
1
2
,1]
上单调递增
ymax=
1
2
ymin=-
1
2

(2)由|k
a
+
b
|=
3
|
a
-k
b
|
可得(k
a
+
b
)
2
=3(
a
-k
b
)
2

k2
a
2
+
b
2
+2k
a
b
=3(
a
2
-2k
a
b
+k2
b
2
)

又∵|
a
|=|
b
|=1

k2+1+2k
a
b
=3(1+k2-2k
a
b
)

a
b
=
1+k2
4k

a
b
=cos2θ
θ∈[0,
π
3
]
可得,-
1
2
a
b
≤1

-
1
2
1+k2
4k
≤1

1+k2
4k
+
1
2
≥ 0
1+k2
4k
-1≤0

(k+1)2
4k
≥0
k2-4k+1
4k
≤0

解可得,
k=-1或k>0
k<0或2-
3
≤k≤2+
3

∴k=-1或2-
3
≤k≤2+
3

综上可得,k得取值范围为{k|k=-1或2-
3
≤k≤2+
3
}
点评:本题主要考查了向量的数量积的性质的应用,利用导数判断函数的单调性,进而求解函数的最值,分式不等式的解法,属于函数与向量、不等式的综合应用
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