题目内容
【题目】某有机水果种植基地试验种植的某水果在售卖前要成箱包装，每箱80个，每一箱水果在交付顾客之前要按约定标准对水果作检测，如检测出不合格品，则更换为合格品．检测时，先从这一箱水果中任取10个作检测，再根据检测结果决定是否对余下的所有水果作检测．设每个水果为不合格品的概率都为
，且各个水果是否为不合格品相互独立．
(Ⅰ)记10个水果中恰有2个不合格品的概率为
，求取最大值时p的值
；
(Ⅱ)现对一箱水果检验了10个，结果恰有2个不合格，以(Ⅰ)中确定的作为p的值．已知每个水果的检测费用为1.5元，若有不合格水果进入顾客手中，则种植基地要对每个不合格水果支付a元的赔偿费用
．
(ⅰ)若不对该箱余下的水果作检验，这一箱水果的检验费用与赔偿费用的和记为X，求EX；
(ⅱ)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，当种植基地要对每个不合格水果支付的赔偿费用至少为多少元时，将促使种植基地对这箱余下的所有水果作检验？
【答案】(Ⅰ)0.2 (Ⅱ) (ⅰ) 
(ⅱ)8
【解析】
(Ⅰ)记10个水果中恰有2个不合格品的概率为
，求得
，利用导数即可求解函数的单调性，进而求得函数的最值.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知
，(ⅰ)中，依题意知
，
，进而利用公式，即可求解；
(ⅱ)如果对余下的水果作检验，得这一箱水果所需要的检验费为120元，列出相应的不等式，判定即可得到结论.
(Ⅰ)记10个水果中恰有2个不合格品的概率为f(p)，则
，
∴
，
由
，得
.
且当
时，
；当
时，
.
∴
的最大值点
.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，
(ⅰ)令Y表示余下的70个水果中的不合格数，依题意知
，
∴
.
(ⅱ)如果对余下的水果作检验，则这一箱水果所需要的检验费为120元，
由
，得
，且
，
∴当种植基地要对每个不合格水果支付的赔偿费用至少为8元时，将促使种植基地对这箱余下的所有水果作检测．
