Question

已知点P是抛物线y²=4x上的动点，点P在y轴上的射影是M，点A的坐标是（4，a），则当|a|＞4时，|PA|+|PM|的最小值是______．

Answer 1

首先，当x=4时，代入抛物线方程，求得|y|=4
而|a|＞4，说明A（4，a）是在抛物线之外（也就是在抛物线位于第一象限的上半支的上方或是下半支的下方）
抛物线焦点可求得是F（1，0），准线L：x=-1
P在y轴上的射影是M，说明PM⊥y轴，延长PM交L：x=-1于点N，必有：
|PM|=|PN|-|MN|=|PN|-1
|PN|就是P到准线L：x=-1的距离！
连接PF
根据抛物线的定义，
可知：抛物线上的点P到准线x=-1的距离等于其到焦点F（1，0）的距离！即：|PF|=|PN|
∴|PM|=|PF|-1
|PA|+|PM|=|PF|+|PA|-1
只需求出|PF|+|PA|的最小值即可：
连接|AF|
由于A在抛物线之外，可由图象的几何位置判断出：AF必与抛物线交于一点，设此点为P'
1°当P与P'不重合时：A，P，F三点必不共线，三点构成一个三角形APF，根据三角形“两边之和大于第三边”的性质，可得：
|PF|+|PA|＞|AF|=

(4-1)2+(a-0)2

^=

a2+9

2°当P与P'重合时，A，P（P'），F三点共线，根据几何关系有：
|PF|+|PA|=|AF|=

a2+9

综合1°，2°两种情况可得：
|PF|+|PA|≥

a2+9

∴（|PF|+|PA|）min=

a2+9

∴（|PA|+|PM|）min=

a2+9

-1