题目内容
5.已知函数f(x)=$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{4}$sinx-$\frac{\sqrt{3}}{4}$cosx的图象在点A(x0,f(x0))处的切线斜率为$\frac{1}{2}$,求tanx0的值.分析 先求函数f(x)的导数,然后令f′(x0)=1,求出x0的值后再求其正切值即可.
解答 解:∵f(x)=$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{4}$sinx-$\frac{\sqrt{3}}{4}$cosx
∴f′(x)=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$cosx+$\frac{\sqrt{3}}{4}$sinx=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$sin(x-$\frac{π}{6}$)
又因为f′(x0)=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$sin(x0-$\frac{π}{6}$)=$\frac{1}{2}$,
∴sin(x0-$\frac{π}{6}$)=0,x0=$\frac{π}{6}$+2kπ (k∈Z);x0=$2kπ+\frac{5π}{6}$,(k∈Z).
∴tanx0=$±\frac{\sqrt{3}}{3}$.
故答案为:$±\frac{\sqrt{3}}{3}$.
点评 本题主要考查导数的几何意义,即函数在某点的导数值等于在该点处切线的斜率.
练习册系列答案
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15.已知a>0,a≠1,则f(x)=loga$\frac{2x+1}{x-1}$的图象恒过点( )
A. | (1,0) | B. | (-2,0) | C. | (-1,0) | D. | (1,4) |
16.下列命题中,正确的是( )
A. | φ=$\frac{π}{4}$是f(x)=3in(x-2φ)的图象关于y轴对称的充分不必要条件 | |
B. | |$\overrightarrow{a}$|-|$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|的充要条件是$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$方向相同 | |
C. | a,b,c都为实数,b=$\sqrt{ac}$是a,b,c三数成等比数列的充分不必要条件 | |
D. | m=3是直线(m+3)x+my-2=0与mx-6y+5=0互相垂直的充要条件 |