题目内容

12．已知数量{an}中，a1=1，an+1=2an+3．
（1）求证：数列{an+3}是等比数列；
（2）求数列{an}通项公式．

分析 把数列递推式两边加3得到新数列{an+3}，该数列为等比数列，求出其通项公式，则an可求．

解答 解：（1）由an+1=2an+3，得an+1+3=2（an+3），
∵a1+3=1+3=4≠0，
∴$\frac{{a}_{n+1}+3}{{a}_{n}+3}$=2，
∴数列{an+3}是以4为首项，以2为公比的等比数列，
（2）由（1）知an+3=4×2n-1=2n+1，
∴an=2n+1-3．

点评 本题考查了数列递推式，对于an+1=pan+q型的数列递推式，常用构造等比数列的方法求解，是中档题．

练习册系列答案
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