Question

16．已知P是椭圆$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1上的一点，F₁，F₂为椭圆的焦点．
（1）若∠F₁PF₂=90°，求△PF₁F₂的面积；
（2）求|PF₁|•|PF₂|的最大值．

Answer 1

分析 （1）设|PF₁|=m，|PF₂|=n，由于∠F₁PF₂=90°，根据勾股定理与椭圆的定义可得：$\left\{\begin{array}{l}{m+n=10}\\{{m}^{2}+{n}^{2}=64}\end{array}\right.$，解出mn即可．
（2）设|PF₁|=m，|PF₂|=n，则m+n=10，利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：（1）c=$\sqrt{25-9}$=4，可得F₁（-4，0），F₂（4，0）．
设|PF₁|=m，|PF₂|=n，
∵∠F₁PF₂=90°，
则$\left\{\begin{array}{l}{m+n=10}\\{{m}^{2}+{n}^{2}=64}\end{array}\right.$，化为mn=18．
∴△PF₁F₂的面积S=$\frac{1}{2}$mn=9．
（2）设|PF₁|=m，|PF₂|=n，
则m+n=10，
∴10$≥2\sqrt{mn}$，化为mn≤25，当且仅当m=n=5时取等号．
∴|PF₁|•|PF₂|的最大值为25．

点评 本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、勾股定理、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．