题目内容
【题目】已知函数在
处取得极小值.
(1)求实数的值;
(2)若函数存在极大值与极小值,且函数
有两个零点,求实数
的取值范围.(参考数据:
,
)
【答案】(1)或
(2)
【解析】
(1)根据极值的定义,求出或
,再对
的两种取值分别进行验证;
(2)由第(1)问先确定,得到
,利用导数研究函数
的单调性,即函数
在
上单调递增,在
上单调递减,再结合零点存在定理的条件,得到参数
的取值范围.
解:(1)由题意得.
因为函数在
处取得极小值,
依题意知,解得
或
.
当时,
,若
,
,则函数
单调递减,
若,
,则函数
单调递增,
所以,当时,
取得极小值,无极大值,符合题意.
当时,
,若
或
,
,则函数
单调递增;
若,
,则函数
单调递减,所以函数
在
处取得极小值,
处取得极大值,符合题意,
综上,实数或
.
(2)因为函数存在极大值与极小值,所以由(1)知,
.
所以,
.
当时,
,故函数
在
上单调递增,
当时,令
,则
,所以当
或
时,
,
单调递增,
当时,
,
单调递减,
因为,
,所以当
时,
,故
在
上单调递减.
因为函数在
上有两个零点,所以
,所以
.
取,
;
取,
,
所以,实数的取值范围是
.
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