题目内容
【题目】已知函数f(x)= +aln(x﹣1)(a∈R).
(1)若函数f(x)在区间[2,+∞)上是单调递增函数,试求实数a的取值范围;
(2)当x∈[2,+∞)时,求证: ≤2ln(x﹣1)≤2x﹣4;
(3)求证: + +…+ <lnn<1+ +…+ (n∈N*且n≥2).
【答案】
(1)解:因为f′(x)= ,
若函数f(x)在区间[2,+∞)上是单调递增函数,
则f′(x)≥0恒成立,
即a≥ 恒成立,所以a≥( )max.
又x∈[2,+∞),则0< ≤1,所以a≥1.
(2)证明:令a=2,由(Ⅰ)知函数f(x)= +2ln(x﹣1)在[2,+∞)上是增函数,
所以当x>2时,f(x)>f(2),即 +2ln(x﹣1)>0,则2ln(x﹣1)> =1﹣ .
令g(x)=2x﹣4﹣2ln(x﹣1),则有g′(x)=2﹣ = ,
当x∈(2,+∞)时,有g′(x)>0,
因此g(x)=2x﹣4﹣2ln(x﹣1)在(2,+∞)上是增函数,所以有g(x)>g(2)=0,
即可得到2x﹣4>2ln(x﹣1).
综上有1﹣ <2ln(x﹣1)<2x﹣4(x>2).
(3)证明:在(2)的结论中令x﹣1= ,则 <2ln <2 ,
取t=1,2,…,n﹣1,(n∈N*,n≥2)时,得到(n﹣1)个不等式,
将所得各不等式相加得, + +…+ <2(ln +ln +…+ln )<2(1+ +…+ ),
所以 + +…+ <2lnn<2(1+ +…+ ),
即 + +…+ <lnn<1+ +…+ (n∈N*且n≥2)
【解析】(1)先求导函数f′(x),要使函数f(x)在区间[2,+∞)上是单调递增函数,则f′(x)≥0恒成立,分离参数可得a≥ 恒成立,所以a≥( )max,由于x∈[2,+∞),可知0< ≤1,从而问题得解;(2)令a=2,由(Ⅰ)知函数f(x)在[2,+∞)上是增函数,所以当x>2时,f(x)>f(2),从而不等式左边得证,构造函数g(x)=2x﹣4﹣2ln(x﹣1),求出g′(x),可知g(x)=2x﹣4﹣2ln(x﹣1)在(2,+∞)上是增函数,所以有g(x)>g(2)=0,从而不等式右边成立,故得证;(3)在(2)的结论中令x﹣1= ,则 <2ln <2 ,取t=1,2,…,n﹣1,(n∈N* , n≥2)时,得到(n﹣1)个不等式,将所得各不等式相加得,即可证得.
【考点精析】通过灵活运用利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数,掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间内,(1)如果,那么函数在这个区间单调递增;(2)如果,那么函数在这个区间单调递减;求函数在上的最大值与最小值的步骤:(1)求函数在内的极值;(2)将函数的各极值与端点处的函数值,比较,其中最大的是一个最大值,最小的是最小值即可以解答此题.