Question

18．已知函数f（x）在[0，+∞）上是单调函数且y=f（x+1）的图象关于直线x=-1对称，则方程f（x）=f（x+$\frac{3}{x+4}$）的所有实数根的和-4．

Answer 1

分析 由已知可以得到已知函数为偶函数，因此由f（x）=f（x+$\frac{3}{x+4}$）得到|x|=|x+$\frac{3}{x+4}$|，解此绝对值不等式，化简为一元二次方程，利用根与系数的关系求得．

解答 解：由y=f（x+1）的图象关于直线x=-1对称，得到函数y=f（x）的图象关于y轴对称，所以f（x）是偶函数，
又函数f（x）在[0，+∞）上是单调函数，所以函数f（x）在（-∞，0）上也是单调函数，
所以由方程f（x）=f（x+$\frac{3}{x+4}$）得到方程|x|=|x+$\frac{3}{x+4}$|，化简得6x²+24x+9=0，
所以方程f（x）=f（x+$\frac{3}{x+4}$）的所有实数根的和为-4；
故答案为：-4．

点评 本题考查了偶函数的性质，关键是明确已知函数的奇偶性，利用此性质将问题转化．