Question

10．已知$\overrightarrow{a}$=（2，1），$\overrightarrow{b}$=（sin（2x+$\frac{π}{3}$），a），f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$．
（1）若f（x+m）为偶函数，求正数m的最小值；
（2）若f（x）在[-$\frac{π}{2}$，0]上有两个零点，求a的范围．

Answer 1

分析 （1）由向量的数量积的定义和偶函数的定义可得2m+$\frac{π}{3}$=kπ+$\frac{π}{2}$，通过k的取值，即可得到最小正数m；
（2）由题意可得y=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）和y=-a在[-$\frac{π}{2}$，0]上有两个交点，由正弦函数的图象可得y=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）在[-$\frac{π}{2}$，-$\frac{5π}{12}$]递减，在[-$\frac{5π}{12}$，0]递增，即可求得最值，进而得到-a的范围，解得a的范围即可．

解答 解：（1）$\overrightarrow{a}$=（2，1），$\overrightarrow{b}$=（sin（2x+$\frac{π}{3}$），a），
则f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）+a，
f（x+m）=2sin（2x+2m+$\frac{π}{3}$）+a，
若f（x+m）为偶函数，
则2m+$\frac{π}{3}$=kπ+$\frac{π}{2}$，即有m=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{12}$，k∈Z，
当k=0时，m的最小值为$\frac{π}{12}$；
（2）若f（x）在[-$\frac{π}{2}$，0]上有两个零点，
则有y=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）和y=-a在[-$\frac{π}{2}$，0]上有两个交点，
由于y=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）在[-$\frac{π}{2}$，-$\frac{5π}{12}$]递减，在[-$\frac{5π}{12}$，0]递增，
在x=-$\frac{5π}{12}$时，取得最小值为-2，
在x=-$\frac{π}{2}$时，取得-$\sqrt{3}$，在x=0时，取得$\sqrt{3}$．
则有当-2＜-a≤-$\sqrt{3}$时，即为$\sqrt{3}$≤a＜2，
y=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）和y=-a在[-$\frac{π}{2}$，0]上有两个交点，
则所求a的范围为[$\sqrt{3}$，2）．

点评 本题考查向量的数量积的坐标表示和函数的奇偶性的运用，同时考查正弦函数的图象和性质，注意转化思想的运用是解题的关键．