Question

10．求下列数列的一个可能的通项公式．
（1）1，-1，1，-1，…
（2）1，10，2，11，3，12，…
（3）1+$\frac{1}{2}$，1-$\frac{{3}^{2}}{4}$，1+$\frac{{5}^{2}}{6}$，1-$\frac{{7}^{2}}{8}$，…

Answer 1

分析 （1）由1，-1，1，-1，…，可知：奇数项为正数，偶数项为负数，即可得出．
（2）由1，10，2，11，3，12，…，可得：奇数项与偶数项分别成等差数列，分类讨论利用等差数列的通项公式即可得出．
（3）由1+$\frac{1}{2}$，1-$\frac{{3}^{2}}{4}$，1+$\frac{{5}^{2}}{6}$，1-$\frac{{7}^{2}}{8}$，…，可得a_n为两数的和，其中第一个数为1，第二个数的符号为（-1）^n-1，其绝对值为一个分数，分母为偶数2n，分子为（2n-1）²，即可得出通项公式．

解答 解：（1）由1，-1，1，-1，…，可知：a_n=（-1）^n-1．
（2）由1，10，2，11，3，12，…，可得：奇数项与偶数项分别成等差数列，a_2k-1=k=$\frac{n+1}{2}$，a_2k=k+9=$\frac{n+18}{2}$，（k∈N^*）．
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{n+1}{2}，n为奇数}\\{\frac{n+18}{2}，n为偶数}\end{array}\right.$．
（3）由1+$\frac{1}{2}$，1-$\frac{{3}^{2}}{4}$，1+$\frac{{5}^{2}}{6}$，1-$\frac{{7}^{2}}{8}$，…，可得a_n为两数的和，其中第一个数为1，第二个数的符号为（-1）^n-1，其绝对值为一个分数，分母为偶数2n，分子为（2n-1）²，因此通项公式为：a_n=1+（-1）^n-1•$\frac{（2n-1）^{2}}{2n}$．

点评 本题考查了通过观察分析猜想归纳求数列的通项公式的方法，考查了分类讨论、推理能力与计算能力，属于中档题．