题目内容
【题目】已知动圆与圆
:
相切,且与圆
:
相内切,记圆心
的轨迹为曲线
.设
为曲线
上的一个不在
轴上的动点,
为坐标原点,过点
作
的平行线交曲线
于
,
两个不同的点.
(Ⅰ)求曲线的方程;
(Ⅱ)试探究和
的比值能否为一个常数?若能,求出这个常数,若不能,请说明理由;
(Ⅲ)记的面积为
,
的面积为
,令
,求
的最大值.
【答案】(1)圆心的轨迹
:
;
(2)和
的比值为一个常数,这个常数为
;
(3)当时,
取最大值
.
【解析】试题分析:(1)根据两圆相切得圆心距与半径之间关系: ,消去半径得
,符合椭圆定义,由定义可得轨迹方程(2)探究问题,实质是计算问题,即利用坐标求
和
的比值:根据直线方程与椭圆方程联立方程组,利用两点间距离公式及韦达定理、弦长公式可得
和
的表达式,两式相比即得比值
(3)因为
的面积
的面积,所以
,利用原点到直线距离得三角形的高,而底为弦长MN(2中已求),可得面积表达式,为一个分式函数,结合变量分离法(整体代换)、基本不等式求最值
试题解析:解:(1)设圆心的坐标为
,半径为
,
由于动圆一圆
相切,且与圆
相内切,所以动圆
与圆
只能内切
∴
∴圆心的轨迹为以
为焦点的椭圆,其中
,
∴
故圆心的轨迹
.
(2)设,直线
,则直线
,
由可得:
,∴
,
∴
由可得:
,
∴,
∴
.
∴
∴和
的比值为一个常数,这个常数为
.
(3)∵,∴
的面积
的面积,∴
,
∵到直线
的距离
,
∴.1
令,则
,
,
∵(当且仅当
,即
,亦即
时取等号)
∴当时,
取最大值
.1
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