题目内容

19.设函数f(x)=lnx+a(1-x).
(Ⅰ)讨论:f(x)的单调性;
(Ⅱ)当f(x)有最大值,且最大值大于2a-2时,求a的取值范围.

分析 (Ⅰ)先求导,再分类讨论,根据导数即可判断函数的单调性;
(2)先求出函数的最大值,再构造函数(a)=lna+a-1,根据函数的单调性即可求出a的范围.

解答 解:(Ⅰ)f(x)=lnx+a(1-x)的定义域为(0,+∞),
∴f′(x)=$\frac{1}{x}$-a=$\frac{1-ax}{x}$,
若a≤0,则f′(x)>0,∴函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,
若a>0,则当x∈(0,$\frac{1}{a}$)时,f′(x)>0,当x∈($\frac{1}{a}$,+∞)时,f′(x)<0,所以f(x)在(0,$\frac{1}{a}$)上单调递增,在($\frac{1}{a}$,+∞)上单调递减,
(Ⅱ),由(Ⅰ)知,当a≤0时,f(x)在(0,+∞)上无最大值;当a>0时,f(x)在x=$\frac{1}{a}$取得最大值,最大值为f($\frac{1}{a}$)=-lna+a-1,
∵f($\frac{1}{a}$)>2a-2,
∴lna+a-1<0,
令g(a)=lna+a-1,
∵g(a)在(0,+∞)单调递增,g(1)=0,
∴当0<a<1时,g(a)<0,
当a>1时,g(a)>0,
∴a的取值范围为(0,1).

点评 本题考查了导数与函数的单调性最值的关系,以及参数的取值范围,属于中档题.

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