题目内容
【题目】已知椭圆
的短轴长为2，且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的四个顶点，过E的左焦点F且不与坐标轴垂直的直线l与E交于A，B两点，线段AB的垂直平分线m与x轴，y轴分别交于M，N两点，交线段AB于点C.
（1）求E的方程；
（2）设O为坐标原点，记
的面积为
，
的面积为
，且
，当
时，求l的斜率的取值范围.
【答案】（1）
；（2）
【解析】
（1）根据题意计算
，
，
，得到椭圆方程.
（2）设出直线
方程，联立方程得到根与系数关系，计算
点坐标，得到直线m的方程，进而计算
坐标，计算
表达式得到
，解得答案.
（1）由题意可得
，，半焦距，所以
，
所以E的方程.
（2）
，设直线l的方程为
，
，
.
联立方程组
消去y，得
，
由韦达定理得
，
，
所以点C的坐标为
，
可得直线m的方程为
，
易得
，
，
所以
，
，
，所以
，
即l的斜率的取值范围为.
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【题目】某中学举行“新冠肺炎”防控知识闭卷考试比赛，总分获得一等奖、二等奖、三等奖的代表队人数情况如表，其中一等奖代表队比三等奖代表队多10人．该校政教处为使颁奖仪式有序进行，气氛活跃，在颁奖过程中穿插抽奖活动．并用分层抽样的方法从三个代表队中共抽取16人在前排就坐，其中二等奖代表队有5人（同队内男女生仍采用分层抽样）
名次 性别 | 一等奖 代表队 | 二等奖 代表队 | 三等奖 代表队 |
男生 | ？ | 30 | ◎ |
女生 | 30 | 20 | 30 |
（1）从前排就坐的一等奖代表队中随机抽取3人上台领奖，用X表示女生上台领奖的人数，求X的分布列和数学期望E（X）．
（2）抽奖活动中，代表队员通过操作按键，使电脑自动产生[﹣2，2]内的两个均匀随机数x，y，随后电脑自动运行如图所示的程序框图的相应程序．若电脑显示“中奖”，则代表队员获相应奖品；若电脑显示“谢谢”，则不中奖．求代表队队员获得奖品的概率．
