Question

【题目】已知函数.

（Ⅰ）若函数在上具有单调性，求实数的取值范围；

（Ⅱ）若在区间上，函数的图象恒在图象上方，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】试题分析：（1）求出函数的对称轴，根据二次函数的单调性求出实数的取值范围；（2）问题转化为(m+1)x+m+2>0对任意x∈[1,1]恒成立，设h(x)=x2(m+1)x+m+2，通过讨论对称轴的范围，求出实数的取值范围.

试题解析：

(1)对称轴x=，且图象开口向上。

若函数g(x)在[2,4]上具有单调性，

则满足2或4，

解得：m5或m9；

(2)若在区间[1,1]上,函数y=g(x)的图象恒在y=2x9图象上方，

则只需：>2x9在区间[1,1]恒成立，

即(m+1)x+m+2>0对任意x∈[1,1]恒成立，

设h(x)=x2(m+1)x+m+2其图象的对称轴为直线x=，且图象开口向上

①当1即m1时,h(x)在[1,1]上是减函数，

所以h(x)min=h(1)=2>0，

所以：m1；

②当1<<1,即3<m<1,函数h(x)在顶点处取得最小值，

即h(x)min=h()=m+2>0,解得：<m<1；

③当1即m3时,h(x)在[1,1]上是增函数，

所以,h(x)min=h(1)=2m+4>0，解得：m&g;2，

此时，m∈；

综上所述：.