题目内容
【题目】已知椭圆的中心为坐标原点,焦点在
轴上,离心率
,以椭圆
的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为
.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)若经过点的直线
交椭圆
于
两点,是否存在直线
,使得
到直线
的距离
满足
恒成立,若存在,请求出
的值;若不存在,请说明理由.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)答案见解析.
【解析】分析:(Ⅰ)设椭圆的标准方程为
,由题意可得
,
,
.则椭圆
的标准方程为
.
(Ⅱ)若直线的斜率不存在,则直线
为任意直线都满足要求;当直线
的斜率存在时,设其方程为:
,与椭圆方程联立有
,结合韦达定理可得
.则存在直线
,使得
到直线
的距离
满足
恒成立.
详解:(Ⅰ)设椭圆的标准方程为
,
∵,∴
,又∵
,
∴,由
,
解得,
,
.
所以椭圆的标准方程为
.
(Ⅱ)若直线的斜率不存在,则直线
为任意直线都满足要求;
当直线的斜率存在时,设其方程为:
,
设,
(不妨令
),
则,
,
,
,
∵,∴
,解得
.
由得
,
,
,
.
综上可知存在直线,使得
到直线
的距离
满足
恒成立.

练习册系列答案
相关题目