题目内容
【题目】三棱锥中,点P是
斜边AB上一点.给出下列四个命题:
①若平面ABC,则三棱锥
的四个面都是直角三角形;
②若S在平面ABC上的射影是斜边AB的中点P,则有;
③若,
,
,
平面ABC,则
面积的最小值为3;
④若,
,
,
平面ABC,则三棱锥
的外接球体积为
.
其中正确命题的序号是__________.(把你认为正确命题的序号都填上)
【答案】①②④.
【解析】
由平面
,所以
,
,
从而得到四个面都是直角三角形; 连接
,当
平面
时,得到
,从而得到
;当
平面
时,.
时,
取得最小值,由此求出
的最小值是
;
三棱锥的外接球可以看作棱长为4的正方体的外接球,
,
,即可求出体积.
对于①,因为平面
,所以
,
,
,又
,∴
平面
,所以
,故四个面都是直角三角形,∴①正确;
对于②,由在平面
上的射影是斜边
的中点
,可得
平面
,连接
,有
,
,
,因为P是
斜边AB的中点,所以
,故
,∴②正确;
对于③,当平面
时,
.当
时,
取得最小值,由等面积可得此时
长度为
,所以
的最小值是
;∴③不正确;
对于④,若,
平面
,∴三棱锥
的外接球可以看作棱长为4的正方体的外接球,∴
,
,∴体积为
,
④正确,故答案为①②④.

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分数段(分) | 总计 | |||||
频数 | ||||||
频率 | 0.25 |
(1)求表中,
的值及成绩在
范围内的样本数;
(2)从成绩内的样本中随机抽取4个样本,设其中成绩在
内的样本个数为随机变量
,求
的分布列及数学期望
;
(3)若把样本各分数段的频率看作总体相应各分数段的概率,现从全校高三期中考试数学成绩中随机抽取5个,求其中恰有2个成绩在内的概率.