题目内容

(本题满分14分)
已知函数
(1)若函数上为增函数,求实数的取值范围
(2)当时,求上的最大值和最小值
(3)求证:对任意大于1的正整数恒成立
(1);(2);(3)见解析。

试题分析:(1)先求出函数的导函数,把函数f(x)在[1,+∞)上为增函数转化为导函
数大于等于0恒成立问题,再转化为关于正实数a的不等式问题即可求出正实数a的取值范
围;(2)先求出函数的导函数以及导数为0的根,进而求出其在[,2]上的单调性即可
求f(x)在[,2]上的最大值和最小值.(3)运用第一问的结论f(x)>0,放缩法得打对
数式的不等式,进而的求和证明。
解:(1)由已知得,依题意得对任意恒成立
对任意恒成立,而
(2)当时,,令,得,若时,,若时,,故是函数在区间上的唯一的极小值,也是最小值,即,而
由于,则
(3)当时,由(1)知上为增函数
,令,则,所以

所以
各式相加得
值与最小值是通过比较函数在(a,b)内所有极值与端点函数f(a),f(b) 比较而得到
的,以及利用单调性确定参数范围,不等式的恒成立的证明。
点评:解决该试题的关键是第一问中根据单调递增性,说明了在给定区间的导数恒大于等于
零,得到参数的取值范围。第二问,先求解极值和端点值,比较大小得到结论。
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