题目内容
【题目】
、
是双曲线
的左、右焦点，过的直线
与双曲线的左右两支分别交于点
、
.若
为等边三角形，则双曲线的离心率为_________．
【答案】
【解析】
根据双曲线的定义算出△AF1F2中，|AF1|=2a，|AF2|=4a，由△ABF2是等边三角形得∠F1AF2=120°，利用余弦定理算出c= a，结合双曲线离心率公式即可算出双曲线C的离心率.
因为△ABF2为等边三角形，可知|AB|=|BF2|=|AF2|
A为双曲线上一点，|A F2|-|A F1| =2a,
B为双曲线上一点，则|BF1|-|BF2|=2a，即|BF1|-|AB|=|AF1|=2a，
∴|AF2|=|AF1|+2a=4a，
由∠ABF2＝600，则∠F1AF2＝1200，已知|F1F2|=2c，
在△F1AF2中应用余弦定理得：4c2=4a2+16a2-22a4acos120°，
得c2=7a2，则e2＝7e＝
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