题目内容

(本小题满分14分)如图,正方体的棱长为2EAB的中点.(Ⅰ)求证:(Ⅱ)求异面直线BD1CE所成角的余弦值;(Ⅲ)求点B到平面的距离.

(Ⅰ)  见解析  (Ⅱ)   (Ⅲ)


解析:

法一:(1)连接BD,由已知有   

  得…………1分

又由ABCD是正方形,得:……2分      ∵相交,∴……3分

(2)延长DC至G,使CG=EB,,连结BG、D1G ,∵CG∥EB ,∴四边形EBGC是平行四边形.                                 

∴BG∥EC.   ∴就是异面直线BD1与CE所成角…………………………5分

中,    …………………6分

 

异面直线 CE所成角的余弦值是 ………8分

(3)∵       又∵     ∴ 点E到的距离,有:    ,…………11分

 又由  ,  设点B到平面的距离为

 , 有, 所以点B到平面的距离为…14分

解法二:(1)见解法一…3分

(2)以D为原点,DA、DC、轴建立空间直角坐标系,则有B(2,2,0)、(0,0,2)、E(2,1,0)、C(0,2,0)、(2,0,2)∴(-2,-2,2),(2,-1,0)………5分

……7分即余弦值是   8分

(3)设平面的法向量为, 有:,…8分

由:(0,1,-2),(2,-1,0)………9分

可得:,令,得  ………11分

(0,1,0)有:点B到平面的距离为…14分

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