题目内容
(本小题满分12分)
已知向量
,
,
,且
、
、
分别为
的三边
、
、
所对的角。
(1)求角C的大小;
(2)若
,
,
成等差数列,且
,求
边的长。
已知向量










(1)求角C的大小;
(2)若





(1)
(2)


此题考查了平面向量的数量积运算法则,两角和与差的正弦函数公式,诱导公式,等差数列的性质,余弦定理,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握定理及公式是解本题的关键
(1)由两向量的坐标,利用平面向量的数量积运算法则列出关系式,利用两角和与差的正弦函数公式化简,得到其数量积为sin(A+B),又根据三角形的内角和定理及诱导公式化简,得到结果为sinC,而已知数量积为-sin2C,两者相等,并利用二倍角的正弦函数公式化简,根据sinC不为0,两边同时除以sinC,求出cosC的值,由C为三角形的内角,利用特殊角的三角函数值即可求出C的度数;
(2)由三角形的三边a,c及b成等差数列,利用等差数列的性质得到2c=a+b,再利用平面向量的数量积运算法则及诱导公式化简
将cosC的值代入求出ab的值,接着利用余弦定理得到c2=a2+b2-2abcosC,根据完全平方公式变形后,将cosC,a+b,及ab代入得到关于c的方程,求出方程的解即可得到c的值.
解:(1)
…………2分
对于
,
…………3分
又
,
…………6分
(2)由
,
由正弦定理得
…………8分
,
即
…………10分
由余弦弦定理
, …………11分
,
…………12分
(1)由两向量的坐标,利用平面向量的数量积运算法则列出关系式,利用两角和与差的正弦函数公式化简,得到其数量积为sin(A+B),又根据三角形的内角和定理及诱导公式化简,得到结果为sinC,而已知数量积为-sin2C,两者相等,并利用二倍角的正弦函数公式化简,根据sinC不为0,两边同时除以sinC,求出cosC的值,由C为三角形的内角,利用特殊角的三角函数值即可求出C的度数;
(2)由三角形的三边a,c及b成等差数列,利用等差数列的性质得到2c=a+b,再利用平面向量的数量积运算法则及诱导公式化简

解:(1)

对于


又


(2)由

由正弦定理得


即

由余弦弦定理




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