题目内容
设函数
,已知
和
为
的极值点.
(Ⅰ)求
和
的值;
(Ⅱ)讨论函数
的单调性;
(Ⅲ)设
,比较
与
的大小.




(Ⅰ)求


(Ⅱ)讨论函数

(Ⅲ)设



(1)
,
.
(2)
在
和
上是单调递增的;在
和
上是单调递减的.
(3)(1)
且
时
(2)
或
时,


(2)





(3)(1)



(2)



(Ⅰ)因为
,
又
和
为
的极值点,所以
,
因此
解该方程组得
,
.
(Ⅱ)因为
,
,所以
,
令
,解得
,
,
.
因为当
时,
;
当
时,
.
所以
在
和
上是单调递增的;在
和
上是单调递减的.
(Ⅲ)由(Ⅰ)可知
,
故
,令
,则
.
令
,得
,因为
时,
,
所以
在
上单调递减.故
时,
;
因为
时,
,所以
在
上单调递增.
故
时,
.
所以对任意
,恒有
,又
时,
,
因此
且
时
,
或
时
,
所以, (1)
且
时
(2)
或
时,
【注:】按以下做法不扣分(以下是高考命题人给的原解)这种解法不太严谨,但也被大部分人所接受
(Ⅲ)由(Ⅰ)可知
,
故
,令
,则
.
令
,得
,因为
时,
,
所以
在
上单调递减.故
时,
;
因为
时,
,所以
在
上单调递增.
故
时,
.
所以对任意
,恒有
,又
,因此
,
故对任意
,恒有


又




因此



(Ⅱ)因为



令




因为当



当


所以





(Ⅲ)由(Ⅰ)可知

故



令




所以




因为




故


所以对任意




因此






所以, (1)



(2)



【注:】按以下做法不扣分(以下是高考命题人给的原解)这种解法不太严谨,但也被大部分人所接受
(Ⅲ)由(Ⅰ)可知

故



令




所以




因为




故


所以对任意




故对任意



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