题目内容
【题目】已知平面平面ABC,P、P在平面ABC的同侧,二面角
的平面角为钝角,Q到平面ABC的距离为
,
是边长为2的正三角形,
,
,
.
(1)求证:面平面PAB;
(2)求二面角的平面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】
(1)由正弦定理,可求得,即
,再由平面
平面ABC,可得
平面PAB,可证得面
平面PAB;
(2)以A为坐标原点,,
方向为x轴、y轴的正方向,建立空间直角坐标系.
求出平面ACQ, 平面PAC的法向量,即可求得二面角.
(1),
所以,
,
又平面
平面ABC,
平面
,
平面ABC,
平面PAB,
面PAC,
面
面PAB
(2)以A为坐标原点,,
方向为x轴、y轴的正方向,建立空间直角坐标系.
则,
,
,
,
设平面ACQ的法向量为,则
,
令,
设平面PAC的法向量为,则
,
令:
,
设二面角的平面角为
,则
.
而此二面角为锐角,故二面角的平面角的余弦值为
.
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