题目内容
【题目】抛物线的准线与
轴交于点
,过点
作直线
交抛物线于
,
两点.
(1)求直线的斜率的取值范围;
(2)若线段的垂直平分线交
轴于
,求证:
;
(3)若直线的斜率依次为
,
,
,…,
,…,线段
的垂直平分线与
轴的交点依次为
,
,
,…,
,…,求
.
【答案】(1)k∈(﹣1,0)∪(0,1);(2)见解析(3)
【解析】
(1)求得抛物线的准线方程,可得M的坐标和直线l的方程,联立抛物线方程,运用判别式大于0,即可得到所求范围;
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),运用韦达定理和中点坐标公式,以及两直线垂直的条件:斜率之积为﹣1,可得AB的垂直平分线方程,可令y=0,求得x,即可得证;
(3)设Nm(xm,0),求得,所以
,由等比数列的求和公式,即可得到所求和.
(1)抛物线y2=2x的准线为x,
,设l:
,
联立直线与抛物线的方程:(*).
因为l交抛物线于两点,所以k≠0且二次方程(*)根的判别式△>0,
即(k2﹣2)2﹣k4>0,
解得k∈(﹣1,0)∪(0,1);
(2)证明:设A(x1,y1),B(x2,y2),
由韦达定理可得,
,
所以AB中点的坐标为,
所以AB中垂线方程为,
令y=0,可得.
(3)设Nm(xm,0),由直线l的斜率依次为,
可得xm,
则,
所以,
(
)
,
所以.
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