题目内容
【题目】圆周上有个白点,先将其中一个染为黑色(称为第一次染色),对任何正整数
,第
次染色后按逆时针方向间隔
个点将下个点染成与原来颜色相反的颜色(称为第
次染色).
(1)对给定正整数,是否存在正整数
,使
次染色后
个点均为白色?
(2)对给定正整数,是否存在正整数
,使
次染色后
个点均为黑色?
【答案】(1)存在(2) 不存在
【解析】
设个点按逆时针方向编号为1,2,…,
.对固定的
,记第
次染色的点的编号为
,称
为染色数列.
不妨设.则
注意到,染色数列是二阶等差数列,即,其中编号在模
意义下.
(1)显然,第次染色后
个点均为白色,等价于染色数列的前
项中每个数出现的次数均为偶数.分别考虑
的情形,各染色数列如下表:
n | 最小次数 | ||||||||||
2 | 1 | 2 | |||||||||
3 | 1 | 3 | 4 | ||||||||
4 | 1 | 3 | 6 | ||||||||
5 | 1 | 3 | 8 | ||||||||
6 | 1 | 3 | 10 |
由此猜想, 个点时,经过
次染色,全变成白色.
下面通过配对的方法证明:在前次染色中,第
次与第
次染同一个点,从而,每个点均被染偶数次(包括0次),均变为白色.
事实上,
(2)对任何正整数,均不存在正整数
,使
次染色后全部变黑.
首先, ,即染色数列(关于模
)是以
为周期的周期数列,且
(即第
次与第
次染色的是同个点).
事实上,.
考虑前次染色中染色的总次数,发现至少有一个点未染色.
由(1),知第次与第
次染色的是同一个点,于是,在前
次染色中,被染过色的点均至少染过两次颜色从而,至多有
个点被染过颜色,即至少有个点从未被染过色,故前
次染色中不可能出现全黑的情形.
而第次染色后全白,故,第
次染色后只有一个黑子.又
,第
次染色后全白,于是,前
次染色中不可能出现全黑的情形.
由周期性,任何时候均不可能出现全黑的情形.

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