题目内容
(本小题满分14分)
已知二次函数为常数);.若直线1、2与函数f(x)的图象以及1,y轴与函数f(x)的图象所围成的封闭图形如阴影所示.
(Ⅰ)求、b、c的值
(Ⅱ)求阴影面积S关于t的函数S(t)的解析式;
(Ⅲ)若问是否存在实数m,使得y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且只有两个不同的交点?若存在,求出m的值;若不存在,说明理由.
解:(I)由图形可知二次函数的图象过点(0,0),(8,0),并且f(x)的最大值为16
则,
∴函数f(x)的解析式为…………………………4分
(Ⅱ)由得
∵0≤t≤2,∴直线l1与f(x)的图象的交点坐标为(………………6分
由定积分的几何意义知:
………………………………9分
(Ⅲ)令
因为x>0,要使函数f(x)与函数g(x)有且仅有2个不同的交点,则函数
的图象与x轴的正半轴有且只有两个不同的交点
∴x=1或x=3时,
当x∈(0,1)时,是增函数;
当x∈(1,3)时,是减函数
当x∈(3,+∞)时,是增函数
∴ ……12分
又因为当x→0时,;当
所以要使有且仅有两个不同的正根,必须且只须
即, ∴m=7或
∴当m=7或时,函数f(x)与g(x)的图象有且只有两个不同交点。
…………14分
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