Question

【题目】已知椭圆： 的离心率，过椭圆的左焦点且倾斜角为的直线与圆相交所得弦的长度为1.

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线交椭圆于不同的两点，设， ，其中为坐标原点.当以线段为直径的圆恰好过点时，求证： 的面积为定值，并求出该定值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）定值为，证明见解析.

【解析】试题分析：(I)借助题设条件建立方程组求解；(II)依据题设运用直线与椭圆的位置关系进行探求.

试题解析：

（Ⅰ）由题意知得，即. ①

因为直线过左焦点且倾斜角为30°可得直线方程为

又因为直线与圆相交弦长为1，

所以圆心到直线距离，

再由勾股定理得：②

由①②联立可知

即椭圆方程为

（Ⅱ）（ⅰ）当直线的斜率不存在时，，因为以线段为直径的圆过原点，所以，即，

所以，

即，③

又因为点在椭圆上，所以，④

把③代入④得： ，

所以.

（ⅱ）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，

，

因为交于不同两点，所以，

，即，

由韦达定理得： ，

由题意知即，又，

所以，

∴，

代入整理得.⑤

又

点到直线的距离，

所以

，⑥

将⑤代入⑥得，

综上，三角形的面积为定值1.