Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP=AB，BP=BC=2，E，F分别是PB，PC的中点．
（Ⅰ）证明：EF∥平面PAD；
（Ⅱ）求三棱锥E-ABC的体积V．

Answer 1

分析：（Ⅰ）要证明：EF∥平面PAD，只需证明EF∥AD即可．
（Ⅱ）求三棱锥E-ABC的体积V．只需求出底面△ABC的面积，再求出E到底面的距离，即可．

解答：解（Ⅰ）在△PBC中，E，F分别是PB，
PC的中点，∴EF∥BC．
又BC∥AD，∴EF∥AD，
又∵AD?平面PAD，EF?平面PAD，
∴EF∥平面PAD；
（Ⅱ）连接AE，AC，EC，
过E作EG∥PA交AB于点G，
则EG⊥平面ABCD，且EG=

1

2

PA．
在△PAB中，AP=AB，∠PAB=90°，BP=2，
∴AP=AB=

2

，EG=

2

2

．
∴S_△ABC=

1

2

AB•BC=

1

2

×

2

×2=

2

，
∴V_E-ABC=

1

3

S_△ABC•EG=

1

3

×

2

×

2

2

=

1

3

．

点评：本题考查棱锥的体积，只需与平面平行，是中档题．