Question

11．设f（x）是R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=x²-（a-1）x，a∈R．
（1）若f（1）=1，求f（x）在x∈（-∞，0）时的解析式；
（2）若a=0，不等式f（k•2^x）+f（4^x+1）＞0恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由f（1）=1，可得a=1，再由奇函数的定义，令x＜0，可得f（x）=-f（-x），即可得到解析式；
（2）运用f（x）的奇偶性和单调性，可得f（k•2^x）＞-f（4^x+1）=f（-1-4^x），即有k•2^x＞-1-4^x，即为-k＜2^x+$\frac{1}{{2}^{x}}$恒成立，由指数函数的值域和基本不等式可得右边函数的最小值，解不等式可得k的范围．

解答 解：（1）f（1）=1-a+1=1，即a=1，
当x＞0时，f（x）=x²，
由f（x）是R上的奇函数，
当x＜0时，f（x）=-f（-x）=-x²；
（2）若a=0，当x＞0时，f（x）=x²+x，
可知f（x）在（0，+∞）上单调递增，
由f（x）是R上的奇函数，可得f（x）在（-∞，0）上也是单调递增，且f（0）=0，
当x=0，即x²=0，易证f（x）在R上单调递增，
所以f（k•2^x）+f（4^x+1）＞0，即为f（k•2^x）＞-f（4^x+1）=f（-1-4^x），
即有k•2^x＞-1-4^x，即为-k＜2^x+$\frac{1}{{2}^{x}}$恒成立，
由2^x＞0，可得2^x+$\frac{1}{{2}^{x}}$≥2$\sqrt{{2}^{x}•\frac{1}{{2}^{x}}}$=2，
当且仅当x=0时，取得最小值2，
即有-k＜2，解得k＞-2．

点评 本题考查函数的奇偶性的运用及解析式的求法，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和基本不等式，考查运算能力，属于中档题．