Question

2．已知函数f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0，π＜φ＜2π）为奇函数，且图象上相邻的一个最高点和一个最低点之间的距离为$\sqrt{4+{π}^{2}}$．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若f（α）=$\frac{3}{5}$，α为第二象限角，求tan（α-$\frac{π}{4}$）的值．

Answer 1

分析 （1）设T为f（x）的最小正周期，由题意可得$\sqrt{\frac{{T}^{2}}{4}+4}$=$\sqrt{4+{π}^{2}}$，求得T的值，可得ω=1的值．再根据f（x）=cos（ωx+φ）为奇函数，可得φ 的值，可得f（x）的解析式．
（2）由条件利用同角三角函数的基本关系求得cosα的值，可得tanα=$\frac{sinα}{cosα}$ 的值，从而利用两角差的正切公式求得tan（α-$\frac{π}{4}$）的值．

解答 解：（1）设T为f（x）的最小正周期，由题意可得$\sqrt{\frac{{T}^{2}}{4}+4}$=$\sqrt{4+{π}^{2}}$，求得T=2π=$\frac{2π}{ω}$，
∴ω=1．
再根据f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0，π＜φ＜2π）为奇函数，可得φ=$\frac{3π}{2}$，
∴f（x）=cos（x+$\frac{3π}{2}$）=sinx．
（2）若f（α）=sinα=$\frac{3}{5}$，α为第二象限角，
∴cosα=-$\frac{4}{5}$，tanα=$\frac{sinα}{cosα}$=-$\frac{3}{4}$，
∴tan（α-$\frac{π}{4}$）=$\frac{tanα-1}{1+tanα}$=$\frac{-\frac{3}{4}-1}{1-\frac{3}{4}×1}$=-7．

点评 本题主要考查由函数y=Acos（ωx+φ）的部分图象求解析式，同角三角函数的基本关系，两角和差的正切公式，属于基础题．