Question

13．已知函数f（x）=x³+3ax²+3x+1．
（1）当a=-$\sqrt{2}$时，讨论f（x）的单调性；
（2）讨论f（x）的单调性．

Answer 1

分析 利用导数求函数的单调区间的步骤是①求导函数f′（x）；②解f′（x）＞0（或＜0）；③得到函数的增区间（或减区间），在求单调区间时要注意函数的定义域以及对参数a的讨论情况

解答 解：（1）当a=-$\sqrt{2}$时，f（x）=x³-3$\sqrt{2}$x²+3x+1，
∴f′（x）=3x²-6$\sqrt{2}$x+3，
令f′（x）=0，解得x=$\sqrt{2}$-1，或x=$\sqrt{2}$+1，
当f′（x）＞0时，即x＜$\sqrt{2}$-1，或x＞$\sqrt{2}$+1，函数f（x）单调递增，
当f′（x）＜0时，即$\sqrt{2}$-1＜x＜$\sqrt{2}$+1，函数f（x）单调递减，
综上所述，函数f（x）在（-∞，$\sqrt{2}$-1），（$\sqrt{2}$+1，+∞）上单调递增，在（$\sqrt{2}$-1，$\sqrt{2}$+1）上单调递减；
（2）∵f（x）=x³+3ax²+3x+1，
∴f′（x）=3x²-6ax+3，
当△=36a²-36≤0时，即-1≤a≤1时，f′（x）≥0恒成立，故函数在R上为增函数，
当△=36a²-36＞0时，即a＜-1，或a＞1时，
令f′（x）=0，解得x=a-$\sqrt{{a}^{2}-1}$，或a=a+$\sqrt{{a}^{2}-1}$，
当f′（x）＞0时，即x＜a-$\sqrt{{a}^{2}-1}$，或x＞a+$\sqrt{{a}^{2}-1}$，函数f（x）单调递增，
当f′（x）＜0时，即a-$\sqrt{{a}^{2}-1}$＜x＜a+$\sqrt{{a}^{2}-1}$，函数f（x）单调递减，
综上所述，当1≤a≤1时，函数在R上为增函数，
当a＜-1，或a＞1时，函数f（x）在（-∞，a-$\sqrt{{a}^{2}-1}$），（a+$\sqrt{{a}^{2}-1}$，+∞）上单调递增，在（a-$\sqrt{{a}^{2}-1}$，a+$\sqrt{{a}^{2}-1}$）上单调递减；

点评 本题考查利用函数的导数来求函数的单调区间，考查函数单调性的性质，构造函数求解证明不等式问题，属于中档题