Question

14．如图，A、B是圆O上的两点，∠AOB=120°，C是AB弧的中点．
（1）求证：AB平分∠OAC；
（2）延长OA至P使得OA=AP，连接PC，若圆O的半径R=1，求PC的长．

Answer 1

分析 （1）连接OC，证明OA=AC=BC=OB，得到四边形AOBC是菱形，推出AB平分∠OAC．
（2）连接OC，通过判断三角形OPC是直角三角形，然后求解PC．

解答 解：（1）证明：连接OC，∵∠AOB=120°，C是AB弧的中点，∴∠AOC=∠BOC=60°，
∵OA=OC，∴△ACO是等边三角形，∴OA=AC，同理OB=BC，
∴OA=AC=BC=OB，∴四边形AOBC是菱形，∴AB平分∠OAC；…（5分）
（2）解：连接OC，∵C为弧AB中点，∠AOB=120°，∴∠AOC=60°，
∵OA=OC，∴OAC是等边三角形，
∵OA=AC，∴AP=AC，∴∠APC=30°，
∴△OPC是直角三角形，PC=$\sqrt{3}OC=\sqrt{3}$．…（10分）

点评 本题考查直线与圆的位置关系的应用，证明菱形的方法，三角形的边长的求法，考查逻辑推理能力．