题目内容
【题目】已知函数,其中
.
(I)讨论函数的单调性;
(II)若,证明:对任意
,总有
.
【答案】(I)详见解析(II)详见解析
【解析】
试题分析:(I)先求函数导数,再求导函数零点
或
,根据两个零点大小分三种情况讨论:若
,
在
,
上单调递增,在
上单调递减.若
时,则
在
上单调递增.若
时,则
在
,
上单调递增,在
上单调递减.(II)同(1)可得:当
时,
在
上单调递增,因此将所证不等式变量分离得
,构造函数
,只需利用导数证明函数单调递减
试题解析:解:(I)∵,
,
令,得
或
①若,则
时,
;
时,
;
时,
,
故函数在
,
上单调递增,在
上单调递减
②若时,则
在
上单调递增
③若时,则
在
,
上单调递增,在
上单调递减
(II)由(I)可知,当时,
在
上单调递增,不妨设
,则有
,
,于是要证
,即证
,
即证,
令,
∵,
∵,
,
∴在
上单调递减,即有
.
故.

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