题目内容
【题目】已知函数,其中.
(I)讨论函数的单调性;
(II)若,证明:对任意,总有.
【答案】(I)详见解析(II)详见解析
【解析】
试题分析:(I)先求函数导数,再求导函数零点或,根据两个零点大小分三种情况讨论:若,在,上单调递增,在上单调递减.若时,则在上单调递增.若时,则在,上单调递增,在上单调递减.(II)同(1)可得:当时,在上单调递增,因此将所证不等式变量分离得,构造函数,只需利用导数证明函数单调递减
试题解析:解:(I)∵,,
令,得或
①若,则时,;
时,;
时,,
故函数在,上单调递增,在上单调递减
②若时,则在上单调递增
③若时,则在,上单调递增,在上单调递减
(II)由(I)可知,当时,在上单调递增,不妨设,则有,,于是要证,即证,
即证,
令,
∵,
∵,,
∴在上单调递减,即有.
故.
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