题目内容
【题目】设函数.
(1)求的单调区间;
(2)若为整数, 且当
时,
, 求
的最大值.
【答案】(1)若,
增区间为
,若
,
减区间为
,增区间为
;(2)
.
【解析】试题分析:(1)利用导数工具,结合分类讨论思想对进行分类讨论;(2)由
,代入原不等式后可将原命题转化为:当
时,
,令
, 从而原命题可转化为
,然后利用导数工具求
.
试题解析:(1)函数的定义域是
,若
,则
,
所以函数在
上单调递增.若
, 则当
时,
; 当
时,
; 所以,
在
单调递减,
在单调递增.
(2)由于,所以
,故当
时,
等价于
① 令
,
则,由(1)知,当
时, 函数
在
上单调递增, 而
在
上存在唯一的零点, 故
在
上存在唯一的零点, 设此零点为
,则有
,当
时,
;
当时,
; 所以
在
上的最小值为
,又由
,可得
,由于 ①式等价于
,故整数
的最大值为
.
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练习册系列答案
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【题目】一对父子参加一个亲子摸奖游戏,其规则如下:父亲在装有红色、白色球各两个的甲袋子里随机取两个球,儿子在装有红色、白色、黑色球各一个的乙袋子里随机取一个球,父子俩取球互相独立,两人各摸球一次合在一起称为一次摸奖,他们取出的三个球的颜色情况与他们获得的积分对应如下表:
所取球的情况 | 三个球均为红色 | 三个球均为不同色 | 恰有两球为红色 | 其他情况 |
所获得的积分 | 180 | 90 | 60 | 0 |
(1)求一次摸奖中,所取的三个球中恰有两个是红球的概率;
(2)设一次摸奖中,他们所获得的积分为,求
的分布列及均值(数学期望)
;
(3)按照以上规则重复摸奖三次,求至少有两次获得积分为60的概率.