Question

10．已知$\vec a=（1+cosα，sinα），\vec b=（1-cosβ，sinβ），\vec c=（1，0）$，α∈（0，π），β∈（π，2π），$\vec a$与$\vec c$的夹角为θ₁，$\vec b$与$\vec c$的夹角为θ₂，且${θ_1}-{θ_2}=\frac{π}{3}，求sin\frac{α-β}{2}$=-$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 由α∈（0，π），可得$\frac{α}{2}$的范围．利用向量的夹角公式化简可得θ₁=$\frac{α}{2}$，同理可得θ₂=$\frac{β}{2}$-$\frac{π}{2}$，再利用θ₁-θ₂=$\frac{π}{3}$，即可得出sin$\frac{α-β}{2}$的值．

解答 解：α∈（0，π），∴$\frac{α}{2}$∈（0，$\frac{π}{2}$）．
∵$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{c}$=1+cosα，|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{（1+cosα）^{2}+si{n}^{2}α}$=$\sqrt{2+2cosα}$，|$\overrightarrow{c}$|=1，
∴cosθ₁=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow{c}|}$=$\frac{1+cosα}{\sqrt{2+2cosα}}$=$\sqrt{\frac{1+cosα}{2}}$=$\sqrt{co{s}^{2}\frac{α}{2}}$=cos$\frac{α}{2}$，
∴θ₁=$\frac{α}{2}$．
∵β∈（π，2π），∴$\frac{β}{2}$∈（$\frac{π}{2}$，π），
∴$\frac{β-π}{2}$∈（0，$\frac{π}{2}$）．
∵$\overrightarrow{b}$•$\overrightarrow{c}$=1-cosβ，|$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{（1-cosβ）^{2}+si{n}^{2}β}$=$\sqrt{2-2cosβ}$，
∴cosθ₂=$\frac{\overrightarrow{b}•\overrightarrow{c}}{|\overrightarrow{b}|•|\overrightarrow{c}|}$=$\frac{1-cosβ}{\sqrt{2-2cosβ}}$=$\sqrt{\frac{1-cosβ}{2}}$=sin$\frac{β}{2}$=cos（$\frac{β}{2}$-$\frac{π}{2}$），
∴θ₂=$\frac{β}{2}$-$\frac{π}{2}$，
∵θ₁-θ₂=$\frac{π}{3}$，∴$\frac{α}{2}$-（$\frac{β}{2}$-$\frac{π}{2}$）=$\frac{π}{3}$，化为$\frac{α-β}{2}$=-$\frac{π}{6}$，
sin$\frac{α-β}{2}$=sin（-$\frac{π}{6}$）=-$\frac{1}{2}$．
故答案为：-$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了向量的夹角公式、数量积运算、倍角公式，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．