题目内容
【题目】关于的方程
有3个不等实根.
(1)求实数的取值范围;
(2)求证:方程的3个实根之和大于2.
【答案】(1);(2)见解析
【解析】
(1)方程有3个不等实根等价于方程
有3个不等实根,令
,利用导数研究函数的单调性及极值,t的范围介于极小值与极大值之间;(2)设
的三个根分别为
,且
,数形结合知
,通过构造的新函数
的单调性证明
,再利用
的单调性可得
,即可证明3个根之和大于2.
(1)方程有3个不等实根等价于方程
有3个不等实根,
考虑函数,
,
,
当时,
为减函数,对于任意的
,当
时,
,这表明当
时,
的值域为
;
当时,
为增函数,
在
上的值域为
;
当时,
为减函数,设
,
,
当时,
,
单调递增,
.
可知当时,
恒成立,则
恒成立,
则对任意,当
时,
,并且
时,
.
这表明,当时,
的值域为
,
为极小值,
为极大值.
若与
有3个交点,则
.
(2)设的三个根分别为
,且
,易知
.
设,
.
,
当时,
恒成立,
单调递减,
.
所以,故
,
因为当时,
单调递减,
所以.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】某市场研究人员为了了解产业园引进的甲公司前期的经营状况,对该公司2018年连续六个月的利润进行了统计,并根据得到的数据绘制了相应的折线图,如图所示
(1)由折线图可以看出,可用线性回归模型拟合月利润(单位:百万元)与月份代码
之间的关系,求
关于
的线性回归方程,并预测该公司2019年3月份的利润;
(2)甲公司新研制了一款产品,需要采购一批新型材料,现有,
两种型号的新型材料可供选择,按规定每种新型材料最多可使用
个月,但新材料的不稳定性会导致材料损坏的年限不相同,现对
,
两种型号的新型材料对应的产品各
件进行科学模拟测试,得到两种新型材料使用寿命的频数统计如下表:
使用寿命 材料类型 |
|
|
|
| 总计 |
如果你是甲公司的负责人,你会选择采购哪款新型材料?
参考数据:,
.参考公式:回归直线方程为
,其中
.