Question

【题目】已知函数的两条相邻对称轴之间的距离为．

（1）求的值;

（2）将函数的图象向左平移个单位，再将所得函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在区间上存在零点，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）利用倍角公式、辅助角公式将化为，由两条相邻对称轴之间的距离为可得周期为，再利用周期的计算公式计算即可；

（2）由函数的平移、伸缩变换可得，函数在区间上存在零点，则在上有解，即的取值范围即为在上的值域.

（1），

因为两条相邻对称轴之间的距离为，所以，

即，所以.

（2）由（1）可得，将函数的图象向左平移个单位，得到函数

，再将所得函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，

纵坐标不变，得到函数，因为，所以，

因为函数在区间上存在零点，所以，

故实数的取值范围为.