题目内容

(本小题满分14分)

已知函数.

(Ⅰ)若曲线与曲线相交,且在交点处有相同的切线,求的值及该切线的方程;

(Ⅱ)设函数,当存在最小值时,求其最小值的解析式;

(Ⅲ)对(Ⅱ)中的,证明:当时, .

 

【答案】

(Ⅰ)a=切线的方程为

(Ⅱ)

(Ⅲ)证明见解析

【解析】本题主要考查导数与切线的关系,及导数在求函数最值,单调性等方面的应用,需要考生熟悉求导公式,并有足够的耐心去分类讨论,是一道考查综合素质的难题.

(Ⅰ)=,=(x>0),

由已知得  解得a=,x=e2,

∴ 两条曲线交点的坐标为(e2,e)   切线的斜率为

∴ 切线的方程为

(Ⅱ)由条件知

   ∴

(i)当a>0时,令解得

∴    当0 << 时,在(0,)上递减;

x>时,上递增.

∴    上的唯一极值点,且是极小值点,从而也是最小值点.

∴    最小值

(ii)当时,在(0,+∞)上递增,无最小值。

   故的最小值的解析式为

(Ⅲ)由(Ⅱ)知

,令解得.

时,,∴上递增;

时,,∴上递减.

处取得最大值

上有且只有一个极值点,所以也是的最大值.

∴当时,总有

点评:本题题目条件给的比较清晰,直接.只要抓住概念就可以很好的解决第一问,后两问主要难在需要细心并且有耐心的去分类讨论,运算,方法并不难,所以考试时做这一类题时力争拿到第一步分,后面的尽量争取.

 

练习册系列答案
相关题目

违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com

精英家教网