题目内容
(本小题满分14分)
已知函数,
,
.
(Ⅰ)若曲线与曲线
相交,且在交点处有相同的切线,求
的值及该切线的方程;
(Ⅱ)设函数,当
存在最小值时,求其最小值
的解析式;
(Ⅲ)对(Ⅱ)中的,证明:当
时,
.
【答案】
(Ⅰ)a=切线的方程为
(Ⅱ)
(Ⅲ)证明见解析
【解析】本题主要考查导数与切线的关系,及导数在求函数最值,单调性等方面的应用,需要考生熟悉求导公式,并有足够的耐心去分类讨论,是一道考查综合素质的难题.
(Ⅰ)=
,
=
(x>0),
由已知得 解得a=
,x=e2,
∴ 两条曲线交点的坐标为(e2,e) 切线的斜率为
∴ 切线的方程为
(Ⅱ)由条件知
∴
(i)当a>0时,令解得
,
∴ 当0 <<
时,
,
在(0,
)上递减;
当x>时,
,
在
上递增.
∴ 是
在
上的唯一极值点,且是极小值点,从而也是
的最小值点.
∴ 最小值
(ii)当时,
在(0,+∞)上递增,无最小值。
故的最小值
的解析式为
(Ⅲ)由(Ⅱ)知
则,令
解得
.
当时,
,∴
在
上递增;
当时,
,∴
在
上递减.
∴在
处取得最大值
∵在
上有且只有一个极值点,所以
也是
的最大值.
∴当时,总有
点评:本题题目条件给的比较清晰,直接.只要抓住概念就可以很好的解决第一问,后两问主要难在需要细心并且有耐心的去分类讨论,运算,方法并不难,所以考试时做这一类题时力争拿到第一步分,后面的尽量争取.

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