Question

【题目】已知点P（x，y）是平面内的动点，定点F（1，0），定直线l：x=﹣1与x轴交于点E，过点P作PQ⊥l于点Q，且满足 .

（1）求动点P的轨迹t的方程；

（2）过点F作两条互相垂直的直线，分别交曲线t于点A,B，和点C，D.设线段AB和线段CD的中点分别为M和N，记线段MN的中点为K，点O为坐标原点，求直线OK的斜率k的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）y2=4x；（2）[，0）∪（0，].

【解析】

（1）利用直接法求轨迹方程，直接通过所给条件 列式整理可得y2=4x；

（2）设直线AB：x=my+1，联立y2=4x，整理得y2﹣4my﹣4=0，利用韦达定理可得M点坐标（2m2+1，2m），同理可得N点坐标（，），可得k，整理即可得解.

（1）根据条件可知（x+1，y），（2，0），

（x﹣1，y），（﹣2，y），

因为 ，

所以2x+2=﹣2x+2+y2，即y2=4x，

所以P的轨迹方程为y2=4x；

（2）设直线AB：x=my+1，A（x1，y1），B（x2，y2），

联立，整理得y2﹣4my﹣4=0，且y1+y2=4m，y1y2=﹣4，△=16（m2+1），

所以M（2m2+1，2m），同理，N（，），所以K（m21，m），

所以当k，

令t=m0，则k，

当t<0时，t（﹣t）﹣2，当且仅当t时取等号，

当t0时，t2，当且仅当t时取等号，

则k∈[，0）∪（0，].