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在直四棱住ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2，底面是边长为1的正方形，E、F、G分别是棱B1B、D1D、DA的中点．
（1）求证：平面AD1E∥平面BGF；
（2）求证：平面AEC⊥面AD1E．
证明：如图，
（1）∵E，F分别是棱BB1，DD1中点，∴BE∥D1F且BE=D1F，
四边形BED1F为平行四边形，∴D1E∥BF，
又D1E?平面AD1E，BF?平面AD1E，∴BF∥平面AD1E；
又G是棱DA的中点，∴GF∥AD1，
又AD1?平面AD1E，GF?平面AD1E，∴GF∥平面AD1E；
又BF∩GF=F，
平面AD1E∥平面BGF；
（2）∵AA1=2，AD=1，∴AD1=
5
，
同理AE=
AB2+BE2
=
2
，D1E=BF=
BD2+DF2
=
3
，
∴AD12=D1E2+AE2，∴D1E⊥AE；
∵AC⊥BD，AC⊥D1D，∴AC⊥平面BD1，又D1E?平面BD1，∴AC⊥D1E，
又AC∩AE=A，AC?平面AEC，AE?平面AEC．所以D1E⊥平面AEC；
又D1E?平面AD1E，∴平面AEC⊥面AD1E．
练习册系列答案
相关题目
已知三棱锥P-ABC中，PC⊥底面ABC，AB=BC，D、F分别为AC、PC的中点，DE⊥AP于E．
（Ⅰ）求证：AP⊥平面BDE；
（Ⅱ）若AE：EP=1：2，求截面BEF分三棱锥P-ABC所成上、下两部分的体积比．
如图，四棱锥P-ABCD中，PB⊥底面ABCD．底面ABCD为直角梯形，∠ABC=90°，AD∥BC，AB=AD=PB，BC=2AD．点E在棱PA上，且PE=2EA．
（I）求证：CD⊥平面PBD；
（II）求二面角A-BE-D的余弦值．
如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADC=45°，AD=AC=2，O为AC的中点，PO⊥平面ABCD，PO=2，M为PD的中点，
（1）证明：AD⊥平面PAC；
（2）求直线AM与平面ABCD所成角的正弦值．
如图，AO⊥平面α，点O为垂足，BC?平面α，BC⊥OB，若∠ABO=
π
4
，∠COB=
π
6
，则cos∠BAC=______．
已知某几何体的三视图如下图所示，其中俯视图为正三角形，设D为AA1的中点．
（Ⅰ）作出该几何体的直观图并求其体积；
（Ⅱ）求证：平面BB1C1C⊥平面BDC1；
（Ⅲ）BC边上是否存在点P，使AP∥平面BDC1？若不存在，说明理由；若存在，证明你的结论．
作等腰直角三角形ABC的斜边AB的中线CD，沿CD将△ABC折叠，使平面ACD⊥平面BCD，则折叠后AC与BC的夹角∠ACB的度数为______．
如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，△ABC与△A1B1C1都为正三角形且AA1⊥面ABC，F、F1分别是AC，A1C1的中点．
求证：
（1）平面AB1F1∥平面C1BF；
（2）平面AB1F1⊥平面ACC1A1．
若点P（-4，-2，3）关于坐标平面xoy及y轴的对称点的坐标分别是（a，b，c）、（e，f，d），则c与e的和为（　　）
A．7B．-7C．-1D．1

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