题目内容

16.已知△ABC中,asinAsinB+bcos2A=$\sqrt{2}$a,c2=b2+$\sqrt{3}$a2,求B.

分析 运用正弦定理和同角的平方关系,化简即可得到b=$\sqrt{2}$a,运用正弦定理和余弦定理,计算化简即可得到所求值.

解答 解:∵asinAsinB+bcos2A=$\sqrt{2}$a,
运用正弦定理,得sin2AsinB+sinBcos2A=$\sqrt{2}$sinA,
即有sinB(sin2A+cos2A)=$\sqrt{2}$sinA,
即有$\frac{sinB}{sinA}$=$\sqrt{2}$;
可得b=$\sqrt{2}$a,
又c2=b2+$\sqrt{3}$a2,则c2=(2+$\sqrt{3}$)a2
则cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{{a}^{2}+(2+\sqrt{3}){a}^{2}-2{a}^{2}}{2{a}^{2}×\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$,
则∠B=45°.

点评 本题考查正弦定理和余弦定理的运用,考查三角函数的化简和求值,考查运算能力,属于中档题.

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